Širokú škálu vzťahov na príklade množín sprevádza veľké množstvo pojmov, počnúc ich definíciami a končiac analytickou analýzou paradoxov. Rozmanitosť konceptu diskutovaného v článku o súprave je nekonečná. Aj keď, keď hovoríme o duálnych typoch, znamená to binárne vzťahy medzi niekoľkými hodnotami. A tiež medzi objektmi alebo výrokmi.
Binárne vzťahy sa spravidla označujú symbolom R, to znamená, že ak xRx pre ľubovoľnú hodnotu x z poľa R, takáto vlastnosť sa nazýva reflexívna, v ktorej sú x a x akceptované predmety myslenia, a R slúži ako znak toho, či alebo iná forma vzťahu medzi jednotlivcami. Zároveň, ak vyjadríte xRy® alebo yRx, potom to indikuje stav symetrie, kde ® je implikačný znak podobný spojeniu „ak … potom … “. A nakoniec, dekódovanie nápis (xRy Ùy Rz) ®xRz hovorí o tranzitívnom vzťahu a znak Ù je spojka.
Binárny vzťah, ktorý je reflexívny, symetrický aj tranzitívny, sa nazýva vzťah ekvivalencie. Vzťah f je funkcia a z Î f a Î f vyplýva rovnosť y=z. Jednoducho sa dá použiť jednoduchá binárna funkciana dva jednoduché argumenty v určitom poradí a iba v tomto prípade mu dáva význam smerujúci k týmto dvom výrazom v konkrétnom prípade.
Treba povedať, že f zobrazuje x až y,
ak f je funkcia s rozsahom x a rozsahom y. Keď však f extrapoluje x na y a y Í z, spôsobí to, že f zobrazí x v z. Jednoduchý príklad: ak f(x)=2x platí pre ľubovoľné celé číslo x, potom sa hovorí, že f mapuje množinu všetkých známych celých čísel so znamienkom na množinu rovnakých celých, ale tentoraz párnych čísel. Ako je uvedené vyššie, binárne vzťahy, ktoré sú reflexívne, symetrické aj tranzitívne, sú vzťahy ekvivalencie.
Na základe vyššie uvedeného sú vzťahy ekvivalencie binárnych relácií určené vlastnosťami:
- reflexivita - pomer (M ~ N);
- symetrie – ak je rovnosť M ~ N, potom bude N ~ M;
- tranzitivita – ak sú dve rovnosti M ~ N a N ~ P, potom ako výsledok M ~ P.
Pozrime sa na deklarované vlastnosti binárnych relácií podrobnejšie. Reflexivita je jednou z charakteristík určitých spojení, kde každý prvok skúmanej množiny je v danej rovnosti sám so sebou. Napríklad medzi číslami a=c a a³ c sú reflexívne spojenia, keďže vždy a=a, c=c, a³ a, c³ c. Zároveň je vzťah nerovnosti a>c antireflexívny z dôvodu nemožnosti existencie nerovnosti a>a. Axióma tejto vlastnosti je zakódovaná znakmi: aRc®aRa Ù cRc, tu symbol ® znamená slovo "zahŕňa" (alebo "zahŕňa") a znak Ù - je spojenie "a" (alebo spojka). Z tohto tvrdenia vyplýva, že ak je úsudok aRc pravdivý, sú pravdivé aj výrazy aRa a cRc.
Symetria znamená prítomnosť vzťahu, aj keď sú mentálne objekty zamenené, to znamená, že pri symetrickom vzťahu preskupenie objektov nevedie k transformácii typu „binárne vzťahy“. Napríklad vzťah rovnosti a=c je symetrický z dôvodu ekvivalencie vzťahu c=a; výrok a¹c je tiež rovnaký, pretože zodpovedá spojeniu s¹a.
Prechodná množina je vlastnosť, ktorá spĺňa nasledujúcu požiadavku: y н x, z н y ® z н x, kde ® je znamienko, ktoré nahrádza slová: „ak …, tak …“. Vzorec sa slovne číta takto: „Ak y závisí od x, z patrí do y, potom aj z závisí od x“.
