Dôležitým geometrickým objektom, ktorý sa študuje v plochom priestore, je priamka. V trojrozmernom priestore je okrem priamky aj rovina. Oba objekty sú pohodlne definované pomocou smerových vektorov. Čo je to, ako sa tieto vektory používajú na určenie rovníc priamky a roviny? Tieto a ďalšie otázky sú zahrnuté v tomto článku.
Priama linka a ako ju definovať
Každý študent má dobrú predstavu o tom, o akom geometrickom objekte hovorí. Priamka je z hľadiska matematiky množina bodov, ktoré v prípade ich ľubovoľného párového spojenia vedú k množine rovnobežných vektorov. Táto definícia čiary sa používa na napísanie rovnice pre ňu v dvoch aj troch rozmeroch.
Na popis uvažovaného jednorozmerného objektu sa používajú rôzne typy rovníc, ktoré sú uvedené v zozname nižšie:
- všeobecný pohľad;
- parametric;
- vector;
- kanonické alebo symetrické;
- v segmentoch.
Každý z týchto druhov má oproti ostatným nejaké výhody. Napríklad rovnica v segmentoch je vhodná na použitie pri štúdiu správania sa priamky vzhľadom na súradnicové osi, všeobecná rovnica je vhodná pri hľadaní smeru kolmého na danú priamku, ako aj pri výpočte uhla jej priesečník s osou x (pre plochý prípad).
Vzhľadom na to, že téma tohto článku súvisí s usmerňovacím vektorom priamky, budeme ďalej uvažovať len o rovnici, kde je tento vektor základný a je explicitne obsiahnutý, teda vektorový výraz.
Určenie priamky cez vektor
Predpokladajme, že máme nejaký vektor v¯ so známymi súradnicami (a; b; c). Keďže existujú tri súradnice, vektor je daný v priestore. Ako to znázorniť v pravouhlom súradnicovom systéme? Robí sa to veľmi jednoducho: na každej z troch osí je vykreslený segment, ktorého dĺžka sa rovná zodpovedajúcej súradnici vektora. Priesečník troch kolmíc obnovených na roviny xy, yz a xz bude koncom vektora. Jeho začiatok je bod (0; 0; 0).
Udaná poloha vektora však nie je jediná. Podobne je možné nakresliť v¯ umiestnením jeho začiatku do ľubovoľného bodu v priestore. Tieto argumenty hovoria, že nie je možné nastaviť konkrétnu čiaru pomocou vektora. Definuje rodinu nekonečného počtu rovnobežných čiar.
Terazopraviť nejaký bod P(x0; y0; z0) priestoru. A nastavíme podmienku: cez P musí prechádzať priamka. V tomto prípade musí vektor v¯ obsahovať aj tento bod. Posledná skutočnosť znamená, že pomocou P a v¯ je možné definovať jeden riadok. Zapíše sa ako nasledujúca rovnica:
Q=P + λ × v¯
Tu Q je ľubovoľný bod patriaci do priamky. Tento bod možno získať výberom vhodného parametra λ. Zapísaná rovnica sa nazýva vektorová rovnica a v¯ sa nazýva smerový vektor priamky. Jeho usporiadaním tak, aby prechádzal cez P a zmenou jeho dĺžky parametrom λ, dostaneme každý bod Q ako priamku.
V súradnicovom tvare bude rovnica napísaná takto:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
A v explicitnej (parametrickej) forme môžete napísať:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ak z vyššie uvedených výrazov vylúčime tretiu súradnicu, dostaneme vektorové rovnice priamky v rovine.
Pre aké úlohy je užitočné poznať smerový vektor?
Spravidla ide o úlohy na určenie rovnobežnosti a kolmosti čiar. Priamy vektor, ktorý určuje smer, sa tiež používa pri výpočte vzdialenosti medzi priamymi čiarami a bodom a priamkou, aby sa opísalo správanie sa priamky vzhľadom na rovinu.
Dvapriamky budú rovnobežné, ak ich smerové vektory sú. V súlade s tým je kolmosť čiar dokázaná pomocou kolmosti ich vektorov. V týchto typoch úloh stačí vypočítať skalárny súčin uvažovaných vektorov, aby sme dostali odpoveď.
V prípade úloh na výpočet vzdialeností medzi čiarami a bodmi je smerový vektor explicitne zahrnutý v príslušnom vzorci. Poďme si to zapísať:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Tu P1P2¯ – postavené na bodoch P1 a P 2 riadený segment. Bod P2 je ľubovoľný, leží na priamke s vektorom v¯, pričom bod P1 je ten, ku ktorému by mala byť vzdialenosť byť určené. Môže byť buď nezávislý, alebo môže patriť do inej línie alebo roviny.
Všimnite si, že má zmysel počítať vzdialenosť medzi čiarami iba vtedy, keď sú rovnobežné alebo sa pretínajú. Ak sa pretínajú, potom d je nula.
Vyššie uvedený vzorec pre d platí aj pre výpočet vzdialenosti medzi rovinou a rovnobežnou priamkou s ňou, len v tomto prípade by P1 malo patriť k rovine.
Poďme vyriešiť niekoľko problémov, aby sme lepšie ukázali, ako použiť uvažovaný vektor.
Problém s vektorovou rovnicou
Je známe, že priama čiara je opísaná nasledujúcou rovnicou:
y=3 × x – 4
Mali by ste napísať príslušný výrazvektorová forma.
Toto je typická rovnica priamky, ktorú pozná každý školák a je napísaná vo všeobecnej forme. Poďme si ukázať, ako to prepísať do vektorovej podoby.
Výraz môže byť reprezentovaný ako:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Je vidieť, že ak ho otvoríte, získate pôvodnú rovnosť. Teraz jeho pravú stranu rozdelíme na dva vektory tak, že iba jeden z nich obsahuje x, máme:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Zostáva vyňať x zo zátvoriek, označiť ho gréckym symbolom a vymeniť vektory na pravej strane:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Dostali sme vektorovú formu pôvodného výrazu. Súradnice smerového vektora priamky sú (1; 3).
Úloha určiť relatívnu polohu čiar
V medzere sú uvedené dva riadky:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Sú rovnobežné, križujú sa alebo pretínajú?
Nenulové vektory (-1; 3; 1) a (1; 2; 0) budú vodidlami pre tieto čiary. Vyjadrime tieto rovnice v parametrickom tvare a dosadíme súradnice prvej do druhej. Získame:
x=1 – λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Nahradením nájdeného parametra λ do dvoch rovníc vyššie dostaneme:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ nemôže nadobúdať dve rôzne hodnoty súčasne. To znamená, že priamky nemajú jeden spoločný bod, to znamená, že sa pretínajú. Nie sú rovnobežné, pretože nenulové vektory nie sú navzájom rovnobežné (pre ich rovnobežnosť musí existovať číslo, ktoré by po vynásobení jedným vektorom viedlo k súradniciam druhého vektora).
Matematický popis lietadla
Na nastavenie roviny v priestore dáme všeobecnú rovnicu:
A × x + B × y + C × z + D=0
Veľké latinské písmená tu predstavujú konkrétne čísla. Prvé tri z nich definujú súradnice normálového vektora roviny. Ak je to označené n¯, potom:
n¯=(A; B; C)
Tento vektor je kolmý na rovinu, preto sa nazýva vodidlo. Jeho znalosť, ako aj známe súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho do roviny, jednoznačne určujú ten druhý.
Ak bod P(x1; y1; z1) patrí do rovine, potom sa priesečník D vypočíta takto:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Poďme vyriešiť niekoľko problémov pomocou všeobecnej rovnice pre rovinu.
Úloha prenájdenie normálneho vektora roviny
Rovina je definovaná takto:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Ako nájsť smerový vektor pre ňu?
Z vyššie uvedenej teórie vyplýva, že súradnice normálového vektora n¯ sú koeficienty pred premennými. V tomto ohľade, aby sme našli n¯, rovnica by mala byť napísaná vo všeobecnej forme. Máme:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Potom normálny vektor roviny je:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problém zostavenia rovnice roviny
Sú uvedené súradnice troch bodov:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Ako bude vyzerať rovnica roviny obsahujúcej všetky tieto body.
Cez tri body, ktoré nepatria do tej istej čiary, možno nakresliť iba jednu rovinu. Aby sme našli rovnicu, najprv vypočítame smerový vektor roviny n¯. Postupujeme pri tom nasledovne: nájdeme ľubovoľné dva vektory patriace do roviny a vypočítame ich vektorový súčin. Získa vektor, ktorý bude kolmý na túto rovinu, teda n¯. Máme:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Nakreslite bod M1rovinné výrazy. Získame:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x – 3 × y – 3 × z – 12=0=>
4 × x – y – z – 4=0
Získali sme všeobecný typový výraz pre rovinu v priestore tak, že sme pre ňu najprv definovali smerový vektor.
Pri riešení problémov s rovinami by ste mali pamätať na vlastnosť krížového produktu, pretože vám umožňuje jednoduchým spôsobom určiť súradnice normálneho vektora.
