Matice a determinanty boli objavené v osemnástom a devätnástom storočí. Spočiatku sa ich vývoj týkal transformácie geometrických objektov a riešenia sústav lineárnych rovníc. Historicky sa prvý dôraz kládol na determinant. V moderných metódach spracovania lineárnej algebry sa najskôr zvažujú matice. Stojí za to sa nad touto otázkou na chvíľu zamyslieť.
Odpovede z tejto oblasti vedomostí
Matice poskytujú teoreticky a prakticky užitočný spôsob riešenia mnohých problémov, ako napríklad:
- systémy lineárnych rovníc;
- rovnováha pevných látok (vo fyzike);
- teória grafov;
- Leontiefov ekonomický model;
- lesníctvo;
- počítačová grafika a tomografia;
- genetika;
- cryptography;
- elektrické siete;
- fractal.
V skutočnosti má maticová algebra pre „figuríny“zjednodušenú definíciu. Vyjadruje sa takto: ide o vednú oblasť poznania, v ktorejpríslušné hodnoty sú študované, analyzované a plne preskúmané. V tejto časti algebry sa študujú rôzne operácie na skúmaných maticiach.
Ako pracovať s maticami
Tieto hodnoty sa považujú za rovnaké, ak majú rovnaké rozmery a každý prvok jedného sa rovná zodpovedajúcemu prvku druhého. Maticu je možné vynásobiť ľubovoľnou konštantou. Toto sa nazýva skalárne násobenie. Príklad: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matice rovnakej veľkosti je možné pridávať a odčítavať podľa vstupov a hodnoty kompatibilných veľkostí možno násobiť. Príklad: pridajte dve A a B: A=[21−10]B=[1423]. Je to možné, pretože A aj B sú obe matice s dvoma riadkami a rovnakým počtom stĺpcov. Je potrebné pridať každý prvok v A k zodpovedajúcemu prvku v B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matice sa v algebre odčítavajú rovnakým spôsobom.
Násobenie maticou funguje trochu inak. Okrem toho môže existovať veľa prípadov a možností, ako aj riešení. Ak vynásobíme maticu Apq a Bmn, potom je súčin Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Záznam v g-tom riadku a h-tom stĺpci AB je súčtom súčinu zodpovedajúcich záznamov v g A a h B. Násobenie dvoch matíc je možné len vtedy, ak počet stĺpcov v prvom a riadkov v druhom sú si rovní. Príklad: splňte podmienku pre uvažované A a B: A=[1−130]B=[2−11214]. Je to možné, pretože prvá matica obsahuje 2 stĺpce a druhá obsahuje 2 riadky. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Základné informácie o matrikách
Dotyčné hodnoty organizujú informácie, ako sú premenné a konštanty, a ukladajú ich do riadkov a stĺpcov, ktoré sa zvyčajne nazývajú C. Každá pozícia v matici sa nazýva prvok. Príklad: C=[1234]. Pozostáva z dvoch riadkov a dvoch stĺpcov. Prvok 4 je v riadku 2 a stĺpci 2. Maticu môžete zvyčajne pomenovať podľa jej rozmerov, tá s názvom Cmk má m riadkov a k stĺpcov.
Rozšírené matice
Úvahy sú neuveriteľne užitočné veci, ktoré sa objavujú v mnohých rôznych oblastiach použitia. Matice boli pôvodne založené na sústavách lineárnych rovníc. Vzhľadom na nasledujúcu štruktúru nerovností je potrebné vziať do úvahy nasledujúcu doplnenú maticu:
2x + 3r – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapíšte si koeficienty a hodnoty odpovedí vrátane všetkých znamienok mínus. Ak je prvok so záporným číslom, potom sa bude rovnať "1". To znamená, že vzhľadom na systém (lineárnych) rovníc je možné k nemu priradiť maticu (mriežku čísel v zátvorkách). Je to ten, ktorý obsahuje iba koeficienty lineárneho systému. Toto sa nazýva "rozšírená matica". Mriežka obsahujúca koeficienty z ľavej strany každej rovnice bola „vyplnená“odpoveďami z pravej strany každej rovnice.
Záznamy, tedahodnoty B matice zodpovedajú hodnotám x, y- a z v pôvodnom systéme. Ak je správne usporiadaný, najskôr ho skontrolujte. Niekedy je potrebné zmeniť usporiadanie výrazov alebo vložiť nuly ako zástupné symboly v skúmanej alebo študovanej matici.
Vzhľadom na nasledujúci systém rovníc môžeme okamžite napísať súvisiacu rozšírenú maticu:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Najprv nezabudnite zmeniť usporiadanie systému takto:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Potom je možné zapísať súvisiacu maticu ako: [11000113-1012]. Pri vytváraní rozšírenej sa oplatí použiť nulu pre každý záznam, kde je príslušné miesto v sústave lineárnych rovníc prázdne.
Matricová algebra: Vlastnosti operácií
Ak je potrebné tvoriť prvky iba z hodnôt koeficientov, uvažovaná hodnota bude vyzerať takto: [110011-101]. Toto sa nazýva "matica koeficientov".
Vzhľadom na nasledujúcu rozšírenú maticovú algebru je potrebné ju vylepšiť a pridať príslušný lineárny systém. Ako už bolo povedané, je dôležité mať na pamäti, že vyžadujú, aby boli premenné dobre usporiadané a úhľadné. A zvyčajne, keď existujú tri premenné, použite x, y a z v tomto poradí. Preto by pridružený lineárny systém mal byť:
x + 3r=4
2r – z=5
3x + z=-2.
Veľkosť matice
Na predmetné položky sa často odkazuje podľa ich výkonnosti. Veľkosť matice v algebre je daná akomerania, keďže miestnosť sa dá nazvať inak. Merané miery hodnôt sú riadky a stĺpce, nie šírka a dĺžka. Napríklad matica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Keďže A má tri riadky a štyri stĺpce, veľkosť A je 3 × 4.
→
↓
Čiary idú nabok. Kolóny idú hore a dole. „Riadok“a „stĺpec“sú špecifikácie a nie sú zameniteľné. Veľkosti matice sú vždy špecifikované počtom riadkov a potom počtom stĺpcov. V súlade s touto konvenciou nasleduje B:
[123]
[234] je 2 × 3. Ak má matica rovnaký počet riadkov ako stĺpcov, potom sa nazýva „štvorec“. Napríklad hodnoty koeficientov zhora:
[110]
[011]
[-101] je štvorcová matica 3×3.
Matričný zápis a formátovanie
Poznámka k formátovaniu: Napríklad, keď potrebujete napísať maticu, je dôležité použiť zátvorky . Stĺpce absolútnej hodnoty || sa nepoužívajú, pretože majú v tomto kontexte odlišný smer. Zátvorky alebo zložené zátvorky {} sa nikdy nepoužívajú. Alebo nejaký iný symbol zoskupenia, prípadne žiadny, keďže tieto prezentácie nemajú žiadny význam. V algebre je matica vždy v hranatých zátvorkách. Musí byť použitý iba správny zápis, inak môžu byť odpovede považované za skomolené.
Ako už bolo spomenuté vyššie, hodnoty obsiahnuté v matici sa nazývajú záznamy. Z akéhokoľvek dôvodu sú príslušné prvky zvyčajne napísanéveľké písmená, ako napríklad A alebo B, a položky sa špecifikujú pomocou zodpovedajúcich malých písmen, ale s dolným indexom. V matici A sa hodnoty zvyčajne nazývajú "ai, j", kde i je riadok A a j je stĺpec A. Napríklad a3, 2=8. Záznam pre a1, 3 je 3.
V prípade menších matíc, ktoré majú menej ako desať riadkov a stĺpcov, sa čiarka dolného indexu niekedy vynecháva. Napríklad „a1, 3=3“možno zapísať ako „a13=3“. Je zrejmé, že to nebude fungovať pre veľké matice, pretože a213 bude nejasné.
Typy matic
Niekedy klasifikované podľa ich konfigurácií záznamov. Napríklad taká matica, ktorá má všetky nulové položky pod uhlopriečkou horná-ľavá-dolná-pravá "uhlopriečka", sa nazýva horná trojuholníková. Okrem iného môžu existovať aj iné druhy a typy, ale nie sú veľmi užitočné. Vo všeobecnosti je väčšinou vnímaný ako horný trojuholníkový. Hodnoty s nenulovými exponentmi iba horizontálne sa nazývajú diagonálne hodnoty. Podobné typy majú nenulové položky, v ktorých sú všetky 1, takéto odpovede sa nazývajú identické (z dôvodov, ktoré budú jasné, keď sa naučíte a pochopíte, ako vynásobiť príslušné hodnoty). Podobných výskumných ukazovateľov je veľa. Identita 3 × 3 je označená I3. Podobne identita 4 × 4 je I4.
Matricová algebra a lineárne priestory
Všimnite si, že trojuholníkové matice sú štvorcové. Ale uhlopriečky sú trojuholníkové. Vzhľadom na to súnámestie. A identity sa považujú za uhlopriečky, a teda za trojuholníkové a štvorcové. Keď je potrebné opísať maticu, zvyčajne jednoducho špecifikujeme svoju najšpecifickejšiu klasifikáciu, pretože to zahŕňa všetky ostatné. Klasifikujte nasledujúce možnosti výskumu:ako 3 × 4. V tomto prípade nie sú štvorcové. Preto hodnoty nemôžu byť nič iné. Nasledujúca klasifikácia:je možná ako 3 × 3. Ale považuje sa za štvorec a nie je na tom nič zvláštne. Klasifikácia nasledujúcich údajov:ako 3 × 3 horný trojuholník, ale nie je diagonálny. Je pravda, že v uvažovaných hodnotách môžu byť na umiestnenom a označenom priestore alebo nad ním ďalšie nuly. Sledovaná klasifikácia je ďalej: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kde je znázornená ako uhlopriečka a navyše všetky položky sú 1. Potom ide o identitu 3 × 3, I3.
Keďže analogické matice sú podľa definície štvorcové, na nájdenie ich rozmerov stačí použiť jeden index. Aby boli dve matice rovnaké, musia mať rovnaký parameter a rovnaké položky na rovnakých miestach. Predpokladajme napríklad, že sa berú do úvahy dva prvky: A=[1 3 0] [-2 0 0] a B=[1 3] [-2 0]. Tieto hodnoty nemôžu byť rovnaké, pretože sa líšia veľkosťou.
Aj keď A a B sú: A=[3 6] [2 5] [1 4] a B=[1 2 3] [4 5 6] – stále nie sú rovnaké rovnaká vec. A a B majú každýšesť záznamov a majú aj rovnaké čísla, ale na matriky to nestačí. A je 3 × 2. A B je matica 2 × 3. A pre 3 × 2 nie je 2 × 3. Nezáleží na tom, či A a B majú rovnaké množstvo údajov alebo dokonca rovnaké čísla ako záznamy. Ak A a B nemajú rovnakú veľkosť a tvar, ale majú rovnaké hodnoty na podobných miestach, nie sú rovnaké.
Podobné operácie v posudzovanej oblasti
Túto vlastnosť maticovej rovnosti možno premeniť na úlohy pre nezávislý výskum. Napríklad sú dané dve matice a je uvedené, že sú rovnaké. V tomto prípade budete musieť použiť túto rovnosť na preskúmanie a získanie odpovedí na hodnoty premenných.
Príklady a riešenia matíc v algebre môžu byť rôzne, najmä pokiaľ ide o rovnosti. Vzhľadom na to, že sa berú do úvahy nasledujúce matice, je potrebné nájsť hodnoty x a y. Aby boli A a B rovnaké, musia mať rovnakú veľkosť a tvar. V skutočnosti sú také, pretože každá z nich má 2 × 2 matice. A mali by mať rovnaké hodnoty na rovnakých miestach. Potom sa a1, 1 musia rovnať b1, 1, a1, 2 sa musia rovnať b1, 2 atď.). Ale a1, 1=1 sa zjavne nerovná b1, 1=x. Aby A bolo totožné s B, záznam musí mať a1, 1=b1, 1, takže môže byť 1=x. Podobne aj indexy a2, 2=b2, 2, teda 4=y. Potom je riešenie: x=1, y=4. Vzhľadom na to, že nasledujúcematice sú rovnaké, musíte nájsť hodnoty x, y a z. Aby bolo A=B, koeficienty musia mať všetky položky rovnaké. To znamená, že a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 atď. Najmä musí:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Ako môžete vidieť z vybraných matíc: s 1, 1-, 2, 2- a 3, 1-prvkami. Vyriešením týchto troch rovníc dostaneme odpoveď: x=4, y=-6 az=9. Maticová algebra a maticové operácie sa líšia od toho, na čo sú všetci zvyknutí, ale nie sú reprodukovateľné.
Ďalšie informácie v tejto oblasti
Algebra lineárnych matíc je štúdium podobných súborov rovníc a ich transformačných vlastností. Táto oblasť vedomostí vám umožňuje analyzovať rotácie v priestore, aproximovať najmenšie štvorce, riešiť súvisiace diferenciálne rovnice, určovať kružnicu prechádzajúcu tromi danými bodmi a riešiť mnoho ďalších problémov z matematiky, fyziky a techniky. Lineárna algebra matice nie je v skutočnosti technický význam použitého slova, to znamená vektorový priestor v nad poľom f atď.
Matice a determinant sú mimoriadne užitočné nástroje lineárnej algebry. Jednou z ústredných úloh je riešenie maticovej rovnice Ax=b, pre x. Hoci by sa to teoreticky dalo vyriešiť pomocou inverzného x=A-1 b. Iné metódy, ako je Gaussova eliminácia, sú numericky spoľahlivejšie.
Okrem toho, že sa používa na opis štúdia lineárnych súborov rovníc, špecifikovanévyššie uvedený výraz sa používa aj na označenie určitého typu algebry. Najmä L nad poľom F má štruktúru kruhu so všetkými obvyklými axiómami pre vnútorné sčítanie a násobenie spolu s distributívnymi zákonmi. Preto mu dáva väčšiu štruktúru ako prsteň. Lineárna maticová algebra tiež pripúšťa vonkajšiu operáciu násobenia skalármi, ktoré sú prvkami základného poľa F. Napríklad množina všetkých uvažovaných transformácií z vektorového priestoru V na seba nad poľom F je vytvorená cez F. Ďalší príklad lineárneho algebra je množina všetkých reálnych štvorcových matíc nad poľom R reálnych čísel.
