Rotácia je typický druh mechanického pohybu, ktorý sa často vyskytuje v prírode a technike. Akákoľvek rotácia vzniká v dôsledku pôsobenia nejakej vonkajšej sily na uvažovaný systém. Táto sila vytvára takzvaný krútiaci moment. Čo to je, na čom to závisí, je diskutované v článku.
Proces rotácie
Skôr ako sa budeme zaoberať konceptom krútiaceho momentu, poďme charakterizovať systémy, na ktoré je možné tento koncept použiť. Systém otáčania predpokladá prítomnosť osi, okolo ktorej sa vykonáva kruhový pohyb alebo rotácia. Vzdialenosť od tejto osi k hmotným bodom systému sa nazýva polomer otáčania.
Z pohľadu kinematiky je proces charakterizovaný tromi uhlovými hodnotami:
- uhol otočenia θ (meraný v radiánoch);
- uhlová rýchlosť ω (meraná v radiánoch za sekundu);
- uhlové zrýchlenie α (merané v radiánoch za sekundu štvorcovú).
Tieto množstvá spolu súvisia nasledovnerovná sa:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Príklady rotácie v prírode sú pohyby planét na ich obežných dráhach a okolo ich osí, pohyby tornád. V každodennom živote a technike je daný pohyb typický pre motory motorov, kľúče, stavebné žeriavy, otváranie dverí atď.
Určenie momentu sily
Teraz prejdime k samotnej téme článku. Podľa fyzikálnej definície je moment sily vektorovým súčinom vektora pôsobenia sily vzhľadom na os rotácie a vektora samotnej sily. Príslušný matematický výraz možno zapísať takto:
M¯=[r¯F¯].
Vektor r¯ tu smeruje od osi rotácie k bodu pôsobenia sily F¯.
V tomto vzorci krútiaceho momentu M¯ môže byť sila F¯ nasmerovaná v akomkoľvek smere vzhľadom na smer osi. Zložka sily rovnobežná s osou však nevytvorí rotáciu, ak je os pevne pripevnená. Vo väčšine úloh vo fyzike treba brať do úvahy sily F¯, ktoré ležia v rovinách kolmých na os rotácie. V týchto prípadoch možno absolútnu hodnotu krútiaceho momentu určiť podľa nasledujúceho vzorca:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Kde β je uhol medzi vektormi r¯ a F¯.
Čo je pákový efekt?
Páka sily hrá dôležitú úlohu pri určovaní veľkosti momentu sily. Aby ste pochopili, o čom hovoríme, zamyslite saďalší obrázok.
Tu ukazujeme tyč dĺžky L, ktorá je upevnená v otočnom bode jedným zo svojich koncov. Na druhý koniec pôsobí sila F smerujúca pod ostrý uhol φ. Podľa definície momentu sily možno napísať:
M=FLsin(180o-φ).
Uhol (180o-φ) sa objavil, pretože vektor L¯ smeruje od pevného konca k voľnému koncu. Vzhľadom na periodicitu goniometrickej sínusovej funkcie môžeme túto rovnosť prepísať v nasledujúcom tvare:
M=FLsin(φ).
Venujme si teraz pozornosť pravouhlému trojuholníku postavenému na stranách L, d a F. Podľa definície funkcie sínus dáva súčin prepony L a sínusu uhla φ hodnotu ramena d. Potom sa dostaneme k rovnosti:
M=Fd.
Lineárna hodnota d sa nazýva páka sily. Rovná sa vzdialenosti od vektora sily F¯ k osi rotácie. Ako je zrejmé zo vzorca, pri výpočte momentu M je vhodné použiť koncepciu silovej páky. Výsledný vzorec hovorí, že maximálny krútiaci moment pre nejakú silu F nastane len vtedy, keď je dĺžka vektora polomeru r¯ (L¯ na obrázku vyššie) sa rovná páke sily, to znamená, že r¯ a F¯ budú navzájom kolmé.
Smer M¯
Vyššie bolo ukázané, že krútiaci moment je vektorová charakteristika pre daný systém. Kam smeruje tento vektor? Na túto otázku odpovedzte nieje obzvlášť ťažké, ak si zapamätáme, že výsledkom súčinu dvoch vektorov je tretí vektor, ktorý leží na osi kolmej na rovinu pôvodných vektorov.
Zostáva rozhodnúť, či moment sily bude smerovať nahor alebo nadol (k alebo preč od čitateľa) vzhľadom na uvedenú rovinu. Môžete to určiť buď pravidlom gimlet, alebo použitím pravidla pravej ruky. Tu sú obe pravidlá:
- Pravidlo pravej ruky. Ak položíte pravú ruku tak, že sa jej štyri prsty pohybujú od začiatku vektora r¯ po jeho koniec a potom od začiatku vektora F¯ po jeho koniec, vyčnievajúci palec bude indikovať smer momentu M¯.
- Pravidlo Gimlet. Ak sa smer otáčania imaginárneho závesu zhoduje so smerom otáčania systému, potom translačný pohyb závesu udáva smer vektora M¯. Pripomeňme, že sa otáča iba v smere hodinových ručičiek.
Obe pravidlá sú rovnocenné, takže každý môže použiť to, ktoré je pre neho pohodlnejšie.
Pri riešení praktických problémov sa berie do úvahy rozdielny smer krútiaceho momentu (hore - dole, vľavo - vpravo) pomocou znamienka "+" alebo "-". Malo by sa pamätať na to, že kladný smer momentu M¯ sa považuje za smer, ktorý vedie k otáčaniu systému proti smeru hodinových ručičiek. Ak teda nejaká sila povedie k rotácii systému v smere hodín, potom moment, ktorý vytvorí, bude mať zápornú hodnotu.
Fyzický význammnožstvá M¯
Vo fyzike a mechanike rotácie hodnota M¯ určuje schopnosť sily alebo súčet síl rotovať. Keďže matematická definícia veličiny M¯ obsahuje nielen silu, ale aj polomerový vektor jej aplikácie, je to práve ten druhý, ktorý do značnej miery určuje zaznamenanú rotačnú schopnosť. Aby bolo jasnejšie, o akej schopnosti hovoríme, uvádzame niekoľko príkladov:
- Každý človek sa aspoň raz v živote pokúsil otvoriť dvere nie držaním kľučky, ale pritlačením k pántom. V druhom prípade musíte vynaložiť značné úsilie, aby ste dosiahli požadovaný výsledok.
- Na odskrutkovanie matice zo skrutky použite špeciálne kľúče. Čím dlhší je kľúč, tým ľahšie je uvoľniť maticu.
- Aby ste pocítili dôležitosť páky moci, pozývame čitateľov, aby urobili nasledujúci experiment: vezmite si stoličku a skúste ju držať jednou rukou na váhe, v jednom prípade oprite ruku o telo, v druhý vykonajte úlohu na rovnej paži. To posledné sa pre mnohých ukáže ako zdrvujúca úloha, hoci hmotnosť stoličky zostala rovnaká.
Jednotky momentu sily
Pár slov by sa malo povedať aj o jednotkách SI, v ktorých sa meria krútiaci moment. Podľa vzorca, ktorý je k tomu napísaný, sa meria v newtonoch na meter (Nm). Tieto jednotky však merajú aj prácu a energiu vo fyzike (1 Nm=1 joule). Joule pre moment M¯ neplatí, pretože práca je skalárna veličina, zatiaľ čo M¯ je vektor.
Aj takzhoda jednotiek momentu sily s jednotkami energie nie je nahodna. Práca na rotácii systému vykonaná momentom M sa vypočíta podľa vzorca:
A=Mθ.
Odkiaľ sme dostali, že M možno vyjadriť aj v jouloch na radián (J/rad).
Dynamika rotácie
Na začiatku článku sme spísali kinematické charakteristiky, ktoré sa používajú na popis pohybu rotácie. V rotačnej dynamike je hlavnou rovnicou, ktorá používa tieto charakteristiky:
M=Iα.
Pôsobenie momentu M na systém s momentom zotrvačnosti I vedie k vzniku uhlového zrýchlenia α.
Tento vzorec sa používa na určenie uhlových frekvencií rotácie v technológii. Napríklad pri znalosti krútiaceho momentu asynchrónneho motora, ktorý závisí od frekvencie prúdu v cievke statora a od veľkosti meniaceho sa magnetického poľa, ako aj pri znalosti zotrvačných vlastností rotujúceho rotora, je možné určiť pri akej rýchlosti otáčania ω sa rotor motora otáča za známy čas t.
Príklad riešenia problému
Beztiažová páka s dĺžkou 2 metre má v strede oporu. Akú váhu treba priložiť na jeden koniec páky, aby bola v rovnovážnom stave, ak na druhej strane podpery vo vzdialenosti 0,5 metra od nej leží hmotnosť 10 kg?
Je zrejmé, že rovnováha páky nastane, ak sa momenty síl vytváraných zaťažením rovnajú v absolútnej hodnote. Sila, ktorá vytváramoment v tomto probléme, predstavuje hmotnosť tela. Páky sily sa rovnajú vzdialenostiam od závaží k podpere. Napíšme zodpovedajúcu rovnosť:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Hmotnosť P2 dostaneme, ak dosadíme hodnoty m1=10 kg z problémového stavu, d 1=0,5 m, d2=1 m. Zapísaná rovnica dáva odpoveď: P2=49,05 newtonov.
