Ak chcete získať všeobecnú predstavu o tom, čo je kruh, pozrite sa na prsteň alebo obruč. Môžete tiež vziať okrúhly pohár a pohár, položiť ho hore dnom na papier a zakrúžkovať ho ceruzkou. Pri viacnásobnom zväčšení bude výsledná čiara hrubá a nie celkom rovnomerná a jej okraje budú rozmazané. Kruh ako geometrický útvar nemá takú charakteristiku ako hrúbka.
Obvod: definícia a hlavné prostriedky popisu
Kruh je uzavretá krivka pozostávajúca zo súboru bodov umiestnených v rovnakej rovine a rovnako vzdialených od stredu kruhu. V tomto prípade je stred v rovnakej rovine. Spravidla sa označuje písmenom O.
Vzdialenosť od ktoréhokoľvek z bodov kruhu do stredu sa nazýva polomer a označuje sa písmenom R.
Ak spojíte ľubovoľné dva body kruhu, výsledný segment sa bude nazývať akord. Tetiva prechádzajúca stredom kružnice je priemer, označený písmenom D. Priemer rozdeľuje kružnicu na dva rovnaké oblúky a je dvojnásobkom dĺžky polomeru. Takže D=2R alebo R=D/2.
Vlastnosti akordov
- Ak nakreslíte tetivu cez ľubovoľné dva body kruhu a potom nakreslíte polomer alebo priemer kolmý na druhý, potom tento segment rozdelí tetivu aj oblúk, ktorý je ním odrezaný, na dve rovnaké časti. Platí to aj naopak: ak polomer (priemer) rozdeľuje tetivu na polovicu, potom je na ňu kolmá.
- Ak sú dva rovnobežné tetivy nakreslené v rámci toho istého kruhu, oblúky nimi odrezané, ako aj uzavreté medzi nimi, budú rovnaké.
- Nakreslíme dva akordy PR a QS pretínajúce sa v kruhu v bode T. Súčin segmentov jedného akordu sa bude vždy rovnať súčinu segmentov druhého akordu, teda PT x TR=QT x TS.
Obvod: všeobecný pojem a základné vzorce
Jednou zo základných charakteristík tohto geometrického útvaru je obvod. Vzorec je odvodený pomocou hodnôt, ako sú polomer, priemer a konštanta „π“, ktoré odrážajú stálosť pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru.
L=πD alebo L=2πR, kde L je obvod, D je priemer, R je polomer.
Vzorec pre obvod kruhu možno považovať za počiatočný vzorec na nájdenie polomeru alebo priemeru pre daný obvod: D=L/π, R=L/2π.
Čo je kruh: základné postuláty
1. Priamka a kruh môžu byť umiestnené v rovine takto:
- nemajú spoločné body;
- má jeden spoločný bod, pričom priamka sa nazýva dotyčnica: ak nakreslíte polomer cez stred a boddotyk, bude kolmý na dotyčnicu;
- má dva spoločné body, pričom čiara sa nazýva sečna.
2. Cez tri ľubovoľné body ležiace v rovnakej rovine možno nakresliť najviac jeden kruh.
3. Dva kruhy sa môžu dotýkať iba v jednom bode, ktorý sa nachádza na segmente spájajúceho stredy týchto kruhov.
4. Pri akejkoľvek rotácii okolo stredu sa kruh zmení na seba.
5. Čo je to kruh z hľadiska symetrie?
- rovnaké zakrivenie čiary v akomkoľvek bode;
- centrálna symetria okolo bodu O;
- zrkadlová symetria okolo priemeru.
6. Ak zostrojíte dva ľubovoľné vpísané uhly založené na rovnakom kruhovom oblúku, budú rovnaké. Uhol založený na oblúku, ktorý sa rovná polovici obvodu kruhu, t. j. odrezaný priemerom tetivy, je vždy 90°.
7. Ak porovnáme uzavreté zakrivené čiary rovnakej dĺžky, potom sa ukáže, že kruh ohraničuje rez rovinou najväčšej plochy.
Kruh vpísaný do trojuholníka a popísaný okolo neho
Predstava toho, čo je kruh, bude neúplná bez popisu vzťahu medzi týmto geometrickým útvarom a trojuholníkmi.
- Pri konštrukcii kružnice vpísanej do trojuholníka sa jeho stred vždy zhoduje s priesečníkom priesečníkov uhlov trojuholníka.
- Stred opísaného trojuholníka sa nachádza v priesečníkustredné kolmice na každú stranu trojuholníka.
- Ak opíšete kruh okolo pravouhlého trojuholníka, jeho stred bude v strede prepony, to znamená, že prepona bude mať priemer.
- Stredy vpísanej a opísanej kružnice budú v rovnakom bode, ak základňou konštrukcie je rovnostranný trojuholník.
Základné tvrdenia o kruhu a štvoruholníkoch
- Kruh možno opísať okolo konvexného štvoruholníka, iba ak súčet jeho protiľahlých vnútorných uhlov je 180°.
- Kruh vpísaný do konvexného štvoruholníka je možné zostrojiť, ak súčet dĺžok jeho protiľahlých strán je rovnaký.
- Je možné opísať kruh okolo rovnobežníka, ak sú jeho uhly pravé.
- Do rovnobežníka môžete vpísať kruh, ak sú všetky jeho strany rovnaké, to znamená, že je to kosoštvorec.
- Kruh cez uhly lichobežníka je možné zostrojiť iba vtedy, ak je rovnoramenný. V tomto prípade bude stred opísanej kružnice umiestnený v priesečníku osi symetrie štvoruholníka a stredovej kolmice nakreslenej na stranu.
