Riešenie rovníc v matematike má špeciálne miesto. Tomuto procesu predchádza mnohohodinové štúdium teórie, počas ktorého sa študent naučí riešiť rovnice, určovať ich tvar a doviesť zručnosť do plného automatizmu. Hľadanie koreňov však nie vždy dáva zmysel, pretože možno jednoducho neexistujú. Existujú špeciálne metódy na hľadanie koreňov. V tomto článku rozoberieme hlavné funkcie, ich rozsah, ako aj prípady, kde chýbajú ich korene.
Ktorá rovnica nemá korene?
Rovnica nemá korene, ak neexistujú také skutočné argumenty x, pre ktoré rovnica platí rovnako. Pre nešpecialistu vyzerá táto formulácia, podobne ako väčšina matematických teorémov a vzorcov, veľmi vágna a abstraktná, ale je to teoreticky. V praxi sa všetko stáva veľmi jednoduchým. Napríklad: rovnica 0x=-53 nemá riešenie, pretože neexistuje také číslo x, ktorého súčin s nulou by dával niečo iné ako nulu.
Teraz sa pozrieme na najzákladnejšie typy rovníc.
1. Lineárna rovnica
Rovnica sa nazýva lineárna, ak jej pravá a ľavá časť sú reprezentované ako lineárne funkcie: ax + b=cx + d alebo v zovšeobecnenej forme kx + b=0. Kde a, b, c, d sú známe čísla a x je neznáma veličina. Ktorá rovnica nemá korene? Príklady lineárnych rovníc sú zobrazené na obrázku nižšie.
V zásade sa lineárne rovnice riešia jednoduchým presunutím časti čísla do jednej časti a obsahu x do druhej. Ukazuje sa rovnica tvaru mx \u003d n, kde m a n sú čísla a x je neznáma. Na nájdenie x stačí obe časti vydeliť m. Potom x=n/m. Lineárne rovnice majú v zásade len jeden koreň, ale sú prípady, keď koreňov je buď nekonečne veľa, alebo nie sú žiadne. S m=0 a n=0 má rovnica tvar 0x=0. Riešením takejto rovnice bude absolútne akékoľvek číslo.
Ale ktorá rovnica nemá korene?
Keď m=0 an=0, rovnica nemá korene z množiny reálnych čísel. 0 x=-1; 0x=200 – tieto rovnice nemajú korene.
2. Kvadratická rovnica
Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax2 + bx + c=0 pre a=0. Najbežnejším spôsobom riešenia kvadratickej rovnice je jej vyriešenie cez diskriminant. Vzorec na nájdenie diskriminantu kvadratickej rovnice: D=b2 - 4ac. Potom existujú dva korene x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Keď D > 0, rovnica má dva korene, keď D=0 - jeden koreň. Ale ktorá kvadratická rovnica nemá korene?Najjednoduchší spôsob, ako pozorovať počet koreňov kvadratickej rovnice, je na grafe funkcie, ktorou je parabola. Pri čísle > 0 sú vetvy smerované nahor, pri čísle < 0 sú vetvy spustené dole. Ak je diskriminant záporný, takáto kvadratická rovnica nemá korene v množine reálnych čísel.
Môžete tiež vizuálne určiť počet koreňov bez výpočtu diskriminantu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť vrchol paraboly a určiť, ktorým smerom sú vetvy nasmerované. X-ovú súradnicu vrcholu môžete určiť pomocou vzorca: x0 =-b / 2a. V tomto prípade sa súradnica y vrcholu nájde jednoduchým dosadením hodnoty x0 do pôvodnej rovnice.
Kvadratická rovnica x2 – 8x + 72=0 nemá korene, pretože má záporný diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. To znamená, že parabola sa nedotýka osi x a funkcia nikdy nenadobudne hodnotu 0, preto rovnica nemá žiadne skutočné korene.
3. Goniometrické rovnice
Trigonometrické funkcie sú uvažované na goniometrickom kruhu, ale môžu byť reprezentované aj v kartézskom súradnicovom systéme. V tomto článku sa pozrieme na dve základné goniometrické funkcie a ich rovnice: sinx a cosx. Keďže tieto funkcie tvoria trigonometrický kruh s polomerom 1, |sinx| a |cosx| nemôže byť väčšia ako 1. Ktorá rovnica sinx teda nemá korene? Zvážte graf funkcie sinx zobrazený na obrázkunižšie.
Vidíme, že funkcia je symetrická a má periódu opakovania 2pi. Na základe toho môžeme povedať, že maximálna hodnota tejto funkcie môže byť 1 a minimálna -1. Napríklad výraz cosx=5 nebude mať korene, pretože jeho modulo je väčšie ako jedna.
Toto je najjednoduchší príklad goniometrických rovníc. V skutočnosti ich riešenie môže zabrať veľa strán, na konci ktorých si uvedomíte, že ste použili nesprávny vzorec a musíte začať odznova. Niekedy aj pri správnom nájdení koreňov môžete zabudnúť brať do úvahy obmedzenia na ODZ, preto sa v odpovedi objaví extra koreň alebo interval a celá odpoveď sa zmení na chybnú. Preto prísne dodržujte všetky obmedzenia, pretože nie všetky korene zapadajú do rozsahu úlohy.
4. Systémy rovníc
Systém rovníc je súbor rovníc kombinovaných so zloženými alebo hranatými zátvorkami. Zložené zátvorky označujú spoločné vykonávanie všetkých rovníc. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc nemá korene alebo je v rozpore s druhou, celý systém nemá riešenie. Hranaté zátvorky označujú slovo „alebo“. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc systému má riešenie, potom má riešenie celý systém.
Odpoveď systému s hranatými zátvorkami je súhrn všetkých koreňov jednotlivých rovníc. A systémy s kučeravými zátvorkami majú len spoločné korene. Sústavy rovníc môžu zahŕňať úplne rôznorodé funkcie, takže táto zložitosť nie jeumožňuje vám okamžite zistiť, ktorá rovnica nemá korene.
Zovšeobecnenie a tipy na nájdenie koreňov rovnice
V problémových knihách a učebniciach sú rôzne typy rovníc: tie, ktoré majú korene, a tie, ktoré ich nemajú. Po prvé, ak nemôžete nájsť korene, nemyslite si, že vôbec neexistujú. Možno ste niekde urobili chybu, potom svoje riešenie ešte raz skontrolujte.
Pokryli sme najzákladnejšie rovnice a ich typy. Teraz môžete povedať, ktorá rovnica nemá korene. Vo väčšine prípadov to nie je vôbec ťažké. Na dosiahnutie úspechu pri riešení rovníc je potrebná iba pozornosť a sústredenie. Cvičte viac, pomôže vám to oveľa lepšie a rýchlejšie sa orientovať v látke.
Rovnica teda nemá korene, ak:
- v lineárnej rovnici mx=n je hodnota m=0 an=0;
- v kvadratickej rovnici, ak je diskriminant menší ako nula;
- v trigonometrickej rovnici v tvare cosx=m / sinx=n, ak |m| > 0, |n| > 0;
- v systéme rovníc so zloženými zátvorkami, ak aspoň jedna rovnica nemá korene, a s hranatými zátvorkami, ak všetky rovnice nemajú korene.
