Vzorec pre strednú kvadratúru rýchlosti molekúl ideálneho plynu. Príklad úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Molekulárno-kinetická teória umožňuje pomocou analýzy mikroskopického správania systému a pomocou metód štatistickej mechaniky získať dôležité makroskopické charakteristiky termodynamického systému. Jednou z mikroskopických charakteristík, ktorá súvisí s teplotou systému, je stredná štvorcová rýchlosť molekúl plynu. Dáme na to vzorec a zvážime ho v článku.

Ideálny plyn

Hneď si všimneme, že vzorec pre kvadratickú priemernú rýchlosť molekúl plynu bude daný špeciálne pre ideálny plyn. Pod ním sa vo fyzike uvažuje taký mnohočasticový systém, v ktorom častice (atómy, molekuly) navzájom neinteragujú (ich kinetická energia prevyšuje potenciálnu energiu interakcie o niekoľko rádov) a nemajú rozmery, napr. to znamená, že sú to body s konečnou hmotnosťou (vzdialenosť medzi časticami o niekoľko rádov väčšia ako ich veľkosť.lineárne).

Akýkoľvek plyn, ktorý pozostáva z chemicky neutrálnych molekúl alebo atómov, je pod nízkym tlakom a má vysokú teplotu, možno považovať za ideálny. Napríklad vzduch je ideálny plyn, ale vodná para už taká nie je (medzi molekulami vody pôsobia silné vodíkové väzby).

Molekulárna kinetická teória (MKT)

Pri štúdiu ideálneho plynu v rámci MKT by ste mali venovať pozornosť dvom dôležitým procesom:

1. Plyn vytvára tlak tým, že prenáša na steny nádoby, ktorá ho obsahuje, hybnosť, keď sa s nimi zrážajú molekuly a atómy. Takéto kolízie sú dokonale elastické.
2. Molekuly a atómy plynu sa náhodne pohybujú všetkými smermi rôznymi rýchlosťami, ktorých rozloženie sa riadi Maxwell-Boltzmannovou štatistikou. Pravdepodobnosť kolízie medzi časticami je extrémne nízka kvôli ich zanedbateľnej veľkosti a veľkej vzdialenosti medzi nimi.

Napriek tomu, že jednotlivé rýchlosti častíc plynu sa od seba veľmi líšia, priemerná hodnota tejto hodnoty zostáva v čase konštantná, ak na systém nepôsobia vonkajšie vplyvy. Vzorec pre strednú štvorcovú rýchlosť molekúl plynu možno získať zvážením vzťahu medzi kinetickou energiou a teplotou. Tejto problematike sa budeme venovať v ďalšom odseku článku.

Odvodenie vzorca pre kvadratickú priemernú rýchlosť molekúl ideálneho plynu

Každý študent zo všeobecného kurzu fyziky vie, že kinetická energia translačného pohybu telesa s hmotnosťou m sa vypočíta takto:

E_k=mv²/2

Kde v je lineárna rýchlosť. Na druhej strane, kinetickú energiu častice možno určiť aj z hľadiska absolútnej teploty T pomocou konverzného faktora k_B (Boltzmannova konštanta). Keďže náš priestor je trojrozmerný, E_k sa vypočíta takto:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalentom oboch rovníc a vyjadrením v z nich získame vzorec pre priemernú rýchlosť kvadratického ideálneho plynu:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

V tomto vzorci je m - hmotnosť plynnej častice. Jeho hodnota je nepohodlná na praktické výpočty, pretože je malá (≈ 10^-27kg). Aby sme sa vyhli tejto nepríjemnosti, pripomeňme si univerzálnu konštantu plynu R a molárnu hmotnosť M. Konštanta R s k_B súvisí rovnosťou:

k_B=R/N_A.

Hodnota M je definovaná takto:

M=mN_A.

Ak vezmeme do úvahy obe rovnosti, získame nasledujúci výraz pre odmocninu rýchlosti molekúl:

v=√(3RT/M).

Stredná kvadratická rýchlosť častíc plynu je teda priamo úmerná druhej odmocnine absolútnej teploty a nepriamo úmerná druhej odmocnine molárnej hmotnosti.

Príklad riešenia problému

Každý vie, že vzduch, ktorý dýchame, je z 99 % tvorený dusíkom a kyslíkom. Je potrebné určiť rozdiely v priemerných rýchlostiach molekúl N₂ a O₂ pri teplote 15 ^o C.

Tento problém bude vyriešený postupne. Najprv preložíme teplotu na absolútne jednotky, máme:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Teraz napíšte molárne hmotnosti pre každú zvažovanú molekulu:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Keďže hodnoty molárnych hmotností sa mierne líšia, ich priemerné rýchlosti pri rovnakej teplote by mali byť tiež blízko. Pomocou vzorca pre v získame nasledujúce hodnoty pre molekuly dusíka a kyslíka:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Pretože molekuly dusíka sú o niečo ľahšie ako molekuly kyslíka, pohybujú sa rýchlejšie. Priemerný rozdiel rýchlosti je:

v (N₂) – v (O₂)=506,6 – 473,9=32,7 m/s.

Výsledná hodnota je len 6,5 % priemernej rýchlosti molekúl dusíka. Upozorňujeme na vysoké rýchlosti molekúl v plynoch aj pri nízkych teplotách.