Hranol je mnohosten alebo mnohosten, ktorý sa študuje v školskom kurze objemovej geometrie. Jednou z dôležitých vlastností tohto mnohostenu je jeho objem. Uvažujme v článku, ako možno túto hodnotu vypočítať, a tiež uveďte vzorce pre objem hranolov - pravidelné štvoruholníkové a šesťuholníkové.
Prizma v stereometrii
Tento obrazec sa chápe ako mnohosten, ktorý pozostáva z dvoch rovnakých mnohouholníkov umiestnených v rovnobežných rovinách az niekoľkých rovnobežníkov. Pre určité typy hranolov môžu rovnobežníky predstavovať pravouhlé štvoruholníky alebo štvorce. Nižšie je uvedený príklad takzvaného päťuholníkového hranolu.
Ak chcete postaviť figúrku ako na obrázku vyššie, musíte vziať päťuholník a vykonať jeho paralelný presun do určitej vzdialenosti v priestore. Spojením strán dvoch päťuholníkov pomocou rovnobežníkov dostaneme požadovaný hranol.
Každý hranol sa skladá z plôch, vrcholov a hrán. Vrcholy hranolana rozdiel od pyramídy sú rovnaké, každá z nich sa vzťahuje na jednu z dvoch základní. Plochy a hrany sú dvoch typov: tie, ktoré patria k základniam, a tie, ktoré patria k stranám.
Hranoly sú niekoľkých typov (správne, šikmé, konvexné, rovné, konkávne). Uvažujme ďalej v článku, akým vzorcom sa vypočítava objem hranola, berúc do úvahy tvar obrazca.
Všeobecný výraz na určenie objemu hranolu
Bez ohľadu na to, do akého typu patrí skúmaná postava, či je rovná alebo šikmá, pravidelná alebo nepravidelná, existuje univerzálny výraz, ktorý umožňuje určiť jej objem. Objem priestorovej postavy je oblasť priestoru, ktorá je uzavretá medzi jej plochami. Všeobecný vzorec pre objem hranola je:
V=So × h.
Tu So predstavuje plochu základne. Malo by sa pamätať na to, že hovoríme o jednom základe, a nie o dvoch. Hodnota h je výška. Výška skúmanej postavy sa chápe ako vzdialenosť medzi jej identickými základňami. Ak sa táto vzdialenosť zhoduje s dĺžkami bočných rebier, potom sa hovorí o priamom hranole. Na priamom obrázku sú všetky strany obdĺžniky.
Ak je teda hranol šikmý a má nepravidelný mnohouholník základne, potom je výpočet jeho objemu komplikovanejší. Ak je obrázok rovný, výpočet objemu sa zníži iba na určenie plochy základne So.
Určenie objemu bežného čísla
Pravidelný je akýkoľvek hranol, ktorý je rovný a má polygonálnu základňu so stranami a uhlami navzájom rovnakými. Napríklad také pravidelné mnohouholníky sú štvorec a rovnostranný trojuholník. Zároveň kosoštvorec nie je pravidelný útvar, pretože nie všetky jeho uhly sú rovnaké.
Vzorec pre objem pravidelného hranola jednoznačne vyplýva zo všeobecného výrazu pre V, ktorý bol napísaný v predchádzajúcom odseku článku. Pred písaním zodpovedajúceho vzorca je potrebné určiť oblasť správnej základne. Bez toho, aby sme zachádzali do matematických detailov, uvádzame vzorec na určenie uvedenej oblasti. Je univerzálny pre akýkoľvek bežný n-uholník a má nasledujúci tvar:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Ako môžete vidieť z výrazu, oblasť Sn je funkciou dvoch parametrov. Celé číslo n môže nadobúdať hodnoty od 3 do nekonečna. Hodnota a je dĺžka strany n-uholníka.
Na výpočet objemu obrazca je potrebné iba vynásobiť plochu S výškou h alebo dĺžkou bočnej hrany b (h=b). Výsledkom je nasledujúci pracovný vzorec:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Všimnite si, že na určenie objemu hranolu ľubovoľného typu potrebujete poznať niekoľko veličín (dĺžky strán podstavy, výšku, uhly dihedrálneho tvaru), ale na výpočet hodnoty V pravidelný hranol, potrebujeme poznať iba dva lineárne parametre, napríklad a a h.
Objem štvoruholníkového pravidelného hranola
Štvorhranný hranol sa nazýva rovnobežnosten. Ak sú všetky jeho tváre rovnaké a sú štvorcové, potom bude taká postava kocka. Každý študent vie, že objem pravouhlého kvádra alebo kocky sa určí vynásobením jeho troch rôznych strán (dĺžka, výška a šírka). Táto skutočnosť vyplýva zo zapísaného všeobecného vyjadrenia objemu pre regulárny útvar:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Tu sa kotangens 45° rovná 1. Všimnite si, že rovnosť výšky h a dĺžky strany základne a automaticky vedie k vzorcu pre objem kocky.
Objem šesťhranného pravidelného hranola
Teraz použite vyššie uvedenú teóriu na určenie objemu útvaru so šesťuholníkovou základňou. Ak to chcete urobiť, stačí nahradiť hodnotu n=6 vo vzorci:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Písomný výraz možno získať nezávisle bez použitia univerzálneho vzorca pre S. Aby ste to dosiahli, musíte rozdeliť pravidelný šesťuholník na šesť rovnostranných trojuholníkov. Strana každého z nich sa bude rovnať a. Plocha jedného trojuholníka zodpovedá:
S3=√3/4 × a2.
Vynásobením tejto hodnoty počtom trojuholníkov (6) a výškou dostaneme vyššie uvedený vzorec pre objem.
