Študenti vyššej matematiky by si mali uvedomiť, že súčet niektorých mocninných radov patriacich do intervalu konvergencie daného radu sa ukazuje ako spojitá a neobmedzene veľakrát diferencovaná funkcia. Vzniká otázka: je možné tvrdiť, že daná ľubovoľná funkcia f(x) je súčtom nejakého mocninného radu? To znamená, za akých podmienok môže byť funkcia f(x) reprezentovaná mocninným radom? Dôležitosť tejto otázky spočíva v tom, že funkciu f(x) je možné približne nahradiť súčtom niekoľkých prvých členov mocninného radu, teda polynómom. Takéto nahradenie funkcie pomerne jednoduchým výrazom - polynómom - je vhodné aj pri riešení niektorých problémov matematickej analýzy, a to: pri riešení integrálov, pri výpočte diferenciálnych rovníc atď.
Dokázalo sa, že pre niektoré funkcie f(х), kde derivácie až do (n+1)-tého rádu, vrátane posledného, možno vypočítať v okolí (α - R; x0 + R) niektorého bodu x=α platí vzorec:
Tento vzorec je pomenovaný po slávnom vedcovi Brookovi Taylorovi. Séria získaná z predchádzajúcej sa nazýva séria Maclaurin:
Pravidlo, ktoré umožňuje rozšírenie v sérii Maclaurin:
- Určite deriváty prvého, druhého, tretieho… poriadku.
- Vypočítajte, čomu sa rovnajú derivácie v x=0.
- Zaznamenajte Maclaurinov rad pre túto funkciu a potom určte interval jej konvergencie.
- Určite interval (-R;R), kde je zvyšok vzorca Maclaurin
R (x) -> 0 pre n -> nekonečno. Ak existuje, funkcia f(x) v nej sa musí zhodovať so súčtom Maclaurinovho radu.
Teraz zvážte sériu Maclaurin pre jednotlivé funkcie.
1. Takže prvý bude f(x)=ex. Samozrejme, podľa svojich vlastností má takáto funkcia deriváty rôznych rádov a f(k)(x)=ex, kde k sa rovná všetkým prirodzené čísla. Dosadíme x=0. Dostaneme f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… by vyzeralo takto:
2. Maclaurinov rad pre funkciu f(x)=sin x. Okamžite objasnite, že funkcia pre všetky neznáme bude mať derivácie, okrem f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), kde k sa rovná ľubovoľnému prirodzenému číslu. To znamená, že po jednoduchých výpočtoch môžeme dospieť k záveru, že rad pre f(x)=sin x bude vyzerať takto:
3. Teraz skúsme zvážiť funkciu f(x)=cos x. Je pre všetko neznámemá deriváty ľubovoľného poradia a |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Po vykonaní niekoľkých výpočtov opäť dostaneme, že séria pre f(x)=cos x bude vyzerať takto:
Uviedli sme teda najdôležitejšie funkcie, ktoré je možné rozšíriť v sérii Maclaurin, ale pre niektoré funkcie sú doplnené o sériu Taylor. Teraz ich uvedieme. Za zmienku tiež stojí, že Taylorove a Maclaurinove rady sú dôležitou súčasťou nácviku riešenia radov vo vyššej matematike. Takže, Taylorova séria.
1. Prvý bude rad pre f-ii f(x)=ln(1+x). Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch, ak máme f (x)=ln (1 + x), môžeme pridať rad pomocou všeobecného tvaru Maclaurinovho radu. pre túto funkciu sa však séria Maclaurin dá získať oveľa jednoduchšie. Po integrácii určitého geometrického radu dostaneme rad pre f(x)=ln(1+x) tejto vzorky:
2. A druhá, ktorá bude v našom článku konečná, bude séria pre f (x) u003d arctg x. Pre x patriace do intervalu [-1;1] platí rozšírenie:
To je všetko. Tento článok skúmal najbežnejšie používané Taylorove a Maclaurinove rady vo vyššej matematike, najmä na ekonomických a technických univerzitách.
