Hľadanie determinantu matice je dôležitou činnosťou nielen pre lineárnu algebru: napríklad v ekonómii sa pomocou tohto výpočtu riešia sústavy lineárnych rovníc s mnohými neznámymi, ktoré sa široko používajú v ekonomických problémoch.
Koncept určujúci
Determinant alebo determinant matice je hodnota rovnajúca sa objemu kvádra postaveného na jeho riadkových alebo stĺpcových vektoroch. Túto hodnotu možno vypočítať len pre štvorcovú maticu, ktorá má rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Ak sú členmi matice čísla, potom determinant bude tiež číslo.
Výpočet determinantov
Treba si uvedomiť, že existuje niekoľko pravidiel, ktoré môžu výrazne uľahčiť takéto výpočty.
Takže determinant matice pozostávajúcej z jedného člena sa rovná jej jedinému prvku. Vypočítať determinant druhého rádu nie je ťažké, stačí na to odpočítať súčin prvkov na vedľajšej diagonále od súčinu členov hlavnej uhlopriečky.
Výpočet determinantu 3. rádu je najjednoduchšípodľa pravidla trojuholníka. Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce akcie:
- Nájdite súčin troch členov matice umiestnených na jej hlavnom
- Vynásobte tromi členmi umiestnenými na trojuholníkoch, ktorých základne sú rovnobežné s hlavnou uhlopriečkou.
- Zopakujte prvú a druhú akciu pre sekundárnu uhlopriečku.
- Nájdite súčet všetkých hodnôt získaných v predchádzajúcich výpočtoch, pričom čísla získané v treťom odseku sú brané so znamienkom mínus.
diagonály.
Pre ľahké nájdenie determinantu matice 4. rádu, ako aj vyšších dimenzií, je potrebné zvážiť vlastnosti, ktoré majú všetky determinanty:
- Hodnota determinantu sa po transpozícii matice nemení.
- Zmena pozícií dvoch susedných riadkov alebo stĺpcov vedie k zmene znamienka determinantu.
- Ak má matica dva rovnaké riadky alebo stĺpce, alebo sú všetky prvky stĺpca (riadku) nulové, potom sa jej determinant rovná nule.
- Vynásobenie čísel matice ľubovoľným číslom vedie k zvýšeniu determinantu o rovnaký počet krát.
Použitie vyššie uvedených vlastností pomáha ľahko nájsť determinant matice ľubovoľného rádu. Napríklad pomocou metódy redukcie rádu, pri ktorej sa determinant rozšíri o prvky riadka (stĺpca) vynásobené algebraickým doplnkom.
Ďalší spôsob, vďaka ktorému je hľadanie determinantu oveľa jednoduchšie
matica je priviesť ju do trojuholníkového tvaru, keď sa všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou rovnajú nule. V tomto prípade sa determinant matice vypočíta ako súčin čísel umiestnených na tejto diagonále.
A na záver by som rád poznamenal, že výpočet determinantov, hoci pozostáva zo zdanlivo jednoduchých matematických výpočtov, si vyžaduje značnú starostlivosť a vytrvalosť.
