Čo je aritmetika? Kedy ľudstvo začalo používať čísla a pracovať s nimi? Kam siahajú korene takých každodenných pojmov, akými sú čísla, zlomky, odčítanie, sčítanie a násobenie, z ktorých sa človek stal neoddeliteľnou súčasťou svojho života a svetonázoru? Staroveké grécke mysle obdivovali vedy ako matematiku, aritmetiku a geometriu ako najkrajšie symfónie ľudskej logiky.
Aritmetika možno nie je taká hlboká ako iné vedy, ale čo by sa s nimi stalo, keby človek zabudol na elementárnu násobilku? U nás zaužívané logické myslenie, využívajúce čísla, zlomky a iné nástroje, nebolo pre ľudí jednoduché a našim predkom bolo dlho nedostupné. V skutočnosti pred vývojom aritmetiky nebola žiadna oblasť ľudského poznania skutočne vedecká.
Aritmetika je ABC matematiky
Aritmetika je veda o číslach, s ktorou sa každý začína zoznamovať s fascinujúcim svetom matematiky. Ako povedal M. V. Lomonosov, aritmetika je bránou učenia, otvára nám cestu k svetovému poznaniu. Ale má pravduDá sa poznanie sveta oddeliť od poznania číslic a písmen, matematiky a reči? Možno za starých čias, ale nie v modernom svete, kde rýchly rozvoj vedy a techniky diktuje svoje vlastné zákony.
Slovo „aritmetika“(grécky „aritmos“) gréckeho pôvodu znamená „číslo“. Študuje čísla a všetko, čo sa s nimi dá spojiť. Toto je svet čísel: rôzne operácie s číslami, numerické pravidlá, riešenie problémov, ktoré súvisia s násobením, odčítaním atď.
Všeobecne sa uznáva, že aritmetika je počiatočným krokom matematiky a pevným základom pre jej zložitejšie časti, ako je algebra, matematická analýza, vyššia matematika atď.
Hlavný predmet aritmetiky
Základom aritmetiky je celé číslo, ktorého vlastnosti a vzorce sú zohľadnené vo vyššej aritmetike alebo teórii čísel. V skutočnosti sila celej budovy – matematiky – závisí od toho, do akej miery je správny prístup pri posudzovaní takého malého bloku ako prirodzeného čísla.
Na otázku, čo je aritmetika, sa preto dá odpovedať jednoducho: je to veda o číslach. Áno, o bežnej sedmičke, deviatke a celej tejto rôznorodej komunite. A tak, ako nemôžete napísať dobrú alebo dokonca najpriemernejšiu poéziu bez základnej abecedy, nemôžete vyriešiť ani základný problém bez aritmetiky. To je dôvod, prečo všetky vedy pokročili až po rozvoji aritmetiky a matematiky, predtým len súborom predpokladov.
Aritmetika je fantómová veda
Čo je aritmetika – prírodná veda alebo fantóm? V skutočnosti, ako tvrdili starí grécki filozofi, ani čísla, ani čísla v skutočnosti neexistujú. Toto je len fantóm, ktorý sa vytvára v ľudskom myslení pri zvažovaní životného prostredia s jeho procesmi. Naozaj, čo je číslo? Nikde naokolo nevidíme nič také, čo by sa dalo nazvať číslom, skôr je číslo spôsob, akým ľudská myseľ študuje svet. Alebo je to možno štúdium nás samých zvnútra? Filozofi sa o tom hádajú už mnoho storočí za sebou, takže sa nezaväzujeme poskytnúť vyčerpávajúcu odpoveď. Tak či onak, aritmetika dokázala zaujať svoje miesto tak pevne, že v modernom svete nemožno nikoho považovať za sociálne prispôsobeného bez toho, aby poznal jej základy.
Ako sa objavilo prirodzené číslo
Hlavným objektom, s ktorým aritmetika pracuje, je samozrejme prirodzené číslo, ako napríklad 1, 2, 3, 4, …, 152… atď. Aritmetika prirodzených čísel je výsledkom počítania bežných predmetov, ako sú kravy na lúke. Napriek tomu definícia „veľa“alebo „málo“prestala ľuďom vyhovovať a museli vynájsť pokročilejšie techniky počítania.
Skutočný prielom však nastal, keď ľudské myslenie dospelo k bodu, že je možné označiť 2 kilogramy, 2 tehly a 2 diely rovnakým číslom „dva“. Faktom je, že musíte abstrahovať od foriem, vlastností a významu objektov, potom môžete s týmito objektmi vykonávať niektoré akcie vo forme prirodzených čísel. Tak sa zrodila aritmetika čísel, ktoráďalej rozvíjal a rozširoval, pričom zaujímal stále väčšie pozície v živote spoločnosti.
Takéto hĺbkové pojmy čísla ako nula a záporné číslo, zlomky, označovanie čísel číslami a inými spôsobmi majú bohatú a zaujímavú históriu vývoja.
Aritmetickí a praktickí Egypťania
Dvaja najstarší ľudskí spoločníci pri objavovaní sveta okolo nás a riešení každodenných problémov sú aritmetika a geometria.
Verí sa, že história aritmetiky má svoj pôvod na starovekom východe: v Indii, Egypte, Babylone a Číne. Tak vznikol Rinda papyrus egyptského pôvodu (tak pomenovaný, pretože patril majiteľovi rovnakého mena), ktorý sa datuje do 20. storočia. BC okrem iných cenných údajov obsahuje rozšírenie jedného zlomku na súčet zlomkov s rôznymi menovateľmi a čitateľom rovným jednej.
Napríklad: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Aký zmysel má však takýto zložitý rozklad? Faktom je, že egyptský prístup netoleroval abstraktné úvahy o číslach, naopak, výpočty sa robili len pre praktické účely. To znamená, že Egypťan sa zapojí do takých vecí, ako sú výpočty, len preto, aby postavil napríklad hrobku. Bolo potrebné vypočítať dĺžku okraja konštrukcie a to prinútilo človeka sadnúť si za papyrus. Ako vidíte, egyptský pokrok vo výpočtoch bol spôsobený skôr hromadnou výstavbou než láskou k vede.
Z tohto dôvodu nemožno výpočty nájdené na papyroch nazvať úvahami na tému zlomkov. S najväčšou pravdepodobnosťou ide o praktickú prípravu, ktorá pomohla v budúcnosti.riešiť úlohy so zlomkami. Starovekí Egypťania, ktorí nepoznali násobilky, robili dosť dlhé výpočty, rozložené na množstvo čiastkových úloh. Možno je to jedna z tých čiastkových úloh. Je ľahké vidieť, že výpočty s takýmito obrobkami sú veľmi pracné a neperspektívne. Možno z tohto dôvodu nevidíme veľký prínos starovekého Egypta k rozvoju matematiky.
Staroveké Grécko a filozofická aritmetika
Mnohé poznatky o starovekom východe si úspešne osvojili starí Gréci, známi milovníci abstraktných, abstraktných a filozofických úvah. Nemenej zaujala prax, no ťažko nájsť tých najlepších teoretikov a mysliteľov. Vede to prospelo, pretože je nemožné ponoriť sa do aritmetiky bez toho, aby sme ju odtrhli od reality. Iste, môžete rozmnožiť 10 kráv a 100 litrov mlieka, ale ďaleko sa nedostanete.
Hlboko mysliaci Gréci zanechali významnú stopu v histórii a ich spisy sa dostali až k nám:
- Euclid a prvky.
- Pytagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
A, samozrejme, Grékov, ktorí všetko premenili na filozofiu, a najmä pokračovateľov diela Pytagorasa, čísla natoľko fascinovali, že ich považovali za tajomstvo harmónie sveta. Čísla boli študované a skúmané do takej miery, že niektorým z nich a ich párom boli priradené špeciálne vlastnosti. Napríklad:
- Dokonalé čísla sú tie, ktoré sa rovnajú súčtu všetkých ich deliteľov, okrem samotného čísla (6=1+2+3).
- Priateľské čísla sú tie čísla, z ktorých je jednosa rovná súčtu všetkých deliteľov druhého a naopak (Pytagorejci poznali iba jeden takýto pár: 220 a 284).
Gréci, ktorí verili, že vedu treba milovať a nie byť s ňou kvôli zisku, dosiahli veľký úspech skúmaním, hraním a sčítavaním čísel. Treba poznamenať, že nie všetky ich výskumy boli široko využívané, niektoré zostali len „pre krásu“.
Východní myslitelia stredoveku
Rovnakým spôsobom, v stredoveku, aritmetika vďačí za svoj rozvoj východným súčasníkom. Indiáni nám dali čísla, ktoré aktívne používame, napríklad pojem „nula“a pozičnú verziu kalkulu, ktorá je známa modernému vnímaniu. Od Al-Kashiho, ktorý pôsobil v Samarkande v 15. storočí, sme zdedili desatinné zlomky, bez ktorých je ťažké si predstaviť modernú aritmetiku.
V mnohých ohľadoch sa Európa zoznámila s výdobytkami východu vďaka práci talianskeho vedca Leonarda Fibonacciho, ktorý napísal dielo „The Book of the Abacus“, ktoré predstavilo východné inovácie. Stala sa základným kameňom rozvoja algebry a aritmetiky, výskumu a vedeckých aktivít v Európe.
ruská aritmetika
A napokon aritmetika, ktorá si našla svoje miesto a zakorenila sa v Európe, sa začala rozširovať aj do ruských krajín. Prvá ruská aritmetika bola vydaná v roku 1703 - bola to kniha o aritmetike od Leontyho Magnitského. Dlho zostala jedinou učebnicou matematiky. Obsahuje počiatočné momenty algebry a geometrie. Čísla použité v príkladoch prvej učebnice aritmetiky v Rusku sú arabské. Hoci arabské číslice už bolo možné vidieť na rytinách zo 17. storočia.
Samotnú knihu zdobia obrazy Archimeda a Pytagorasa a na prvom hárku - obraz aritmetiky v podobe ženy. Sedí na tróne, pod ňou je v hebrejčine napísané slovo označujúce Božie meno a na schodoch, ktoré vedú k trónu, sú napísané slová „rozdelenie“, „násobenie“, „sčítanie“atď. ktoré sa dnes považujú za samozrejmosť.
600-stranová učebnica pokrýva základy, ako sú sčítacie a násobilkové tabuľky a aplikácie navigačných vied.
Nie je prekvapujúce, že autor si pre svoju knihu vybral obrázky gréckych mysliteľov, pretože sám bol uchvátený krásou aritmetiky, keď povedal: „Aritmetika je čitateľ, umenie je čestné, nezávideniahodné…“. Tento prístup k aritmetike je celkom opodstatnený, pretože jeho rozšírené zavedenie možno považovať za začiatok rýchleho rozvoja vedeckého myslenia v Rusku a všeobecného vzdelania.
Neprime prvočísla
Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré má iba 2 kladných deliteľov: 1 a samo seba. Všetky ostatné čísla okrem 1 sa nazývajú zložené. Príklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11 a všetky ostatné, ktoré nemajú iných deliteľov ako 1 a samé seba.
Pokiaľ ide o číslo 1, je na špeciálnom účte – existuje dohoda, že by sa nemalo považovať ani za jednoduché, ani za zložené. Na prvý pohľad jednoduché, jednoduché číslo v sebe skrýva množstvo nevyriešených záhad.
Euklidova veta hovorí, že existuje nekonečný počet prvočísel a Eratosthenes vynašiel špeciálne aritmetické „sito“, ktoré eliminuje neprvočísla a ponecháva len jednoduché.
Jeho podstatou je podčiarknuť prvé neprečiarknuté číslo a následne prečiarknuť tie, ktoré sú jeho násobkami. Tento postup opakujeme mnohokrát – a dostaneme tabuľku prvočísel.
Základná veta aritmetiky
Medzi pozorovaniami o prvočíslach by sa mala špeciálnym spôsobom spomenúť základná veta aritmetiky.
Základný teorém aritmetiky hovorí, že každé celé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo, alebo ho možno rozložiť na súčin prvočísel až do poradia faktorov a jedinečným spôsobom.
Hlavná veta aritmetiky sa ukázala ako dosť ťažkopádna a jej pochopenie už nevyzerá ako tie najjednoduchšie základy.
Na prvý pohľad sú prvočísla elementárnym pojmom, ale nie sú. Aj fyzika kedysi považovala atóm za elementárny, až kým v ňom nenašla celý vesmír. Nádherný príbeh od matematika Dona Tzagira „Prvých päťdesiat miliónov prvočísel“je venovaný prvočíslam.
Od „troch jabĺk“k deduktívnym zákonom
To, čo možno skutočne nazvať posilneným základom celej vedy, sú zákony aritmetiky. Dokonca aj v detstve sa každý stretáva s aritmetikou, študuje počet nôh a rúk bábik,počet kociek, jabĺk atď. Takto študujeme aritmetiku, ktorá potom prechádza do zložitejších pravidiel.
Celý náš život nás oboznamuje s pravidlami aritmetiky, ktoré sa stali pre bežného človeka tými najužitočnejšími zo všetkého, čo veda dáva. Štúdium čísel je "aritmeticko-baby", ktoré uvádza človeka do sveta čísel v podobe čísel v ranom detstve.
Vyššia aritmetika je deduktívna veda, ktorá študuje zákony aritmetiky. Väčšinu z nich poznáme, aj keď možno nepoznáme ich presné znenie.
Zákon sčítania a násobenia
Dve ľubovoľné prirodzené čísla aab možno vyjadriť ako súčet a+b, čo bude tiež prirodzené číslo. Nasledujúce zákony platia pre sčítanie:
- Komutatívny, ktorý hovorí, že súčet sa nemení preskupením členov, alebo a+b=b+a.
- Asociatívne, ktoré hovorí, že súčet nezávisí od spôsobu, akým sú výrazy zoskupené na miestach, alebo a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Pravidlá aritmetiky, ako je napríklad sčítanie, patria medzi najzákladnejšie, no používajú ich všetky vedy, nehovoriac o každodennom živote.
Dve ľubovoľné prirodzené čísla aab možno vyjadriť ako súčin ab alebo ab, čo je tiež prirodzené číslo. Pre produkt platia rovnaké komutatívne a asociačné zákony ako pre sčítanie:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Zaujímalo by maže existuje zákon, ktorý spája sčítanie a násobenie, nazývaný aj distributívny alebo distributívny zákon:
a(b+c)=ab+ac
Tento zákon nás vlastne učí pracovať so zátvorkami tak, že ich rozširujeme, takže môžeme pracovať so zložitejšími vzorcami. Toto sú zákony, ktoré nás prevedú bizarným a zložitým svetom algebry.
Zákon aritmetického poriadku
Zákon poriadku používa ľudská logika každý deň pri porovnávaní hodiniek a počítaní bankoviek. A napriek tomu ho treba formalizovať vo forme konkrétnych formulácií.
Ak máme dve prirodzené čísla a a b, potom sú možné nasledujúce možnosti:
- a sa rovná b, alebo a=b;
- a je menšie ako b alebo a < b;
- a je väčšie ako b alebo a > b.
Z troch možností môže byť spravodlivá iba jedna. Základný zákon, ktorým sa riadi príkaz hovorí: ak a < b a b < c, potom a< c.
Existujú aj zákony týkajúce sa poradia násobenia a sčítania: ak a< je b, potom a + c < b+c a ac< bc.
Zákony aritmetiky nás učia pracovať s číslami, znamienkami a zátvorkami a všetko premieňajú na harmonickú symfóniu čísel.
Pozičný a nepozičný počet
Dá sa povedať, že čísla sú matematický jazyk, od ktorého pohodlnosti veľa závisí. Existuje mnoho číselných sústav, ktoré sa, podobne ako abecedy rôznych jazykov, navzájom líšia.
Pozrime sa na číselné sústavy z hľadiska vplyvu pozície na kvantitatívnu hodnotučísla na tejto pozícii. Napríklad rímsky systém je nepozičný, kde každé číslo je zakódované určitou množinou špeciálnych znakov: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Rovnajú sa číslam 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. V takomto systéme číslo nemení svoju kvantitatívnu definíciu v závislosti od toho, na akej pozícii je: prvé, druhé atď. Ak chcete získať ďalšie čísla, musíte pridať základné. Napríklad:
- DCC=700.
- CCM=800.
Číselný systém, ktorý je nám známy pomocou arabských číslic, je pozičný. V takomto systéme číslica čísla určuje počet číslic, napríklad trojciferné čísla: 333, 567 atď. Váha ktorejkoľvek číslice závisí od pozície, v ktorej sa tá či oná číslica nachádza, napríklad číslo 8 na druhej pozícii má hodnotu 80. To je typické pre desiatkovú sústavu, existujú aj iné polohové sústavy, napr., binárne.
Binárna aritmetika
Poznáme desiatkovú sústavu pozostávajúcu z jednociferných a viacciferných čísel. Číslo vľavo od viacmiestneho čísla je desaťkrát významnejšie ako to vpravo. Takže sme zvyknutí čítať 2, 17, 467 atď. Časť s názvom „binárna aritmetika“má úplne inú logiku a prístup. To nie je prekvapujúce, pretože binárna aritmetika nebola vytvorená pre ľudskú logiku, ale pre počítačovú logiku. Ak aritmetika čísel pochádza z počítania predmetov, ktoré sa ďalej abstrahujú z vlastností objektu na "holú" aritmetiku, potom to nebude fungovať s počítačom. Aby ste sa mohli podeliťso znalosťou počítača musel človek vymyslieť takýto model kalkulu.
Binárna aritmetika pracuje s binárnou abecedou, ktorá pozostáva len z 0 a 1. A použitie tejto abecedy sa nazýva binárny systém.
Rozdiel medzi binárnou aritmetikou a desiatkovou aritmetikou je v tom, že význam pozície vľavo už nie je 10, ale 2-násobok. Binárne čísla sú v tvare 111, 1001 atď. Ako takýmto číslam rozumieť? Takže zvážte číslo 1100:
- Prvá číslica vľavo je 18=8, pričom si uvedomíme, že štvrtá číslica, čo znamená, že ju treba vynásobiť 2, dostaneme pozíciu 8.
- Druhá číslica 14=4 (pozícia 4).
- Tretia číslica 02=0 (pozícia 2).
- Štvrtá číslica 01=0 (pozícia 1).
- Naše číslo je teda 1100=8+4+0+0=12.
To znamená, že pri prechode na novú číslicu vľavo sa jej význam v dvojkovej sústave vynásobí 2 a v desiatkovej sústave 10. Takýto systém má jedno mínus: je príliš veľký číslice, ktoré sú potrebné na písanie čísel. Príklady vyjadrenia desiatkových čísel ako binárnych čísel nájdete v nasledujúcej tabuľke.
Desatinné čísla v binárnom tvare sú zobrazené nižšie.
Používajú sa aj osmičkové aj hexadecimálne systémy.
Táto tajomná aritmetika
Čo je aritmetika, „dvakrát dva“alebo nepreskúmané tajomstvá čísel? Ako vidíte, aritmetika sa môže zdať na prvý pohľad jednoduchá, ale jej očividná ľahkosť klame. Môžu ho študovať aj deti spolu s tetou Sovou zkarikatúra „Aritmetika-dieťa“a môžete sa ponoriť do hlbokého vedeckého výskumu takmer filozofického poriadku. V histórii prešla od počítania predmetov k uctievaniu krásy čísel. Len jedno je známe s istotou: s vytvorením základných postulátov aritmetiky sa celá veda môže spoľahnúť na svoje silné rameno.
