Odvodenie vzorca pre oblasť kužeľa. Príklad riešenia problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Štúdium vlastností priestorových útvarov hrá dôležitú úlohu pri riešení praktických problémov. Veda, ktorá sa zaoberá postavami vo vesmíre, sa nazýva stereometria. V tomto článku z hľadiska geometrie telesa zvážime kužeľ a ukážeme si, ako nájsť plochu kužeľa.

Kužeľ s okrúhlou základňou

Vo všeobecnom prípade je kužeľ plocha postavená na nejakej rovinnej krivke, ktorej všetky body sú spojené úsečkami s jedným bodom v priestore. Ten sa nazýva vrchol kužeľa.

Z vyššie uvedenej definície je jasné, že krivka môže mať ľubovoľný tvar, napríklad parabolický, hyperbolický, eliptický atď. Napriek tomu sa v praxi a pri problémoch v geometrii často stretávame s okrúhlym kužeľom. Je to zobrazené na obrázku nižšie.

Symbol r tu označuje polomer kružnice umiestnenej na základni obrázku, h je kolmica na rovinu kruhu, ktorá je nakreslená zhora na obrázku. Hovorí sa tomu výška. Hodnota s je tvoriaca čiara kužeľa alebo jeho tvoriaca čiara.

Je vidieť, že segmenty r, h a stvoria pravouhlý trojuholník. Ak sa otáča okolo ramena h, potom prepona s bude opisovať kužeľovú plochu a rameno r tvorí okrúhlu základňu obrazca. Z tohto dôvodu je kužeľ považovaný za postavu revolúcie. Tri pomenované lineárne parametre sú vzájomne prepojené rovnosťou:

s²=r²+ h²

Upozorňujeme, že daná rovnosť platí len pre okrúhly rovný kužeľ. Rovná postava je len vtedy, ak jej výška padá presne do stredu základného kruhu. Ak táto podmienka nie je splnená, potom sa obrázok nazýva šikmý. Rozdiel medzi rovnými a šikmými kužeľmi je znázornený na obrázku nižšie.

Vývoj tvaru

Štúdium povrchovej plochy kužeľa je vhodné vykonať, ak sa uvažuje v rovine. Tento spôsob zobrazenia povrchu postáv v priestore sa nazýva ich vývoj. Pre kužeľ je možné tento vývoj získať takto: musíte si vziať figúrku vyrobenú napríklad z papiera. Potom nožnicami odstrihnite okrúhly základ po obvode. Potom pozdĺž tvoriacej čiary urobte rez kužeľovej plochy a otočte ju do roviny. Výsledkom týchto jednoduchých operácií bude vývoj kužeľa, znázorneného na obrázku nižšie.

Ako môžete vidieť, povrch kužeľa môže byť skutočne znázornený na rovine. Pozostáva z nasledujúcich dvoch častí:

• kruh s polomerom r predstavujúcim základňu obrázku;
• kruhový sektor s polomerom g, čo je kužeľová plocha.

Vzorec pre plochu kužeľa zahŕňa nájdenie plôch oboch rozvinutých plôch.

Vypočítajte povrch obrázku

Rozdeľme úlohu na dve etapy. Najprv nájdeme plochu základne kužeľa, potom plochu kužeľovej plochy.

Prvá časť problému sa dá ľahko vyriešiť. Pretože je daný polomer r, na výpočet plochy základne stačí vyvolať zodpovedajúci výraz pre oblasť kruhu. Poďme si to zapísať:

S_o=pi × r²

Ak nie je známy polomer, mali by ste ho najskôr nájsť pomocou vzťahu medzi ním, výškou a generátorom.

Druhá časť problému hľadania plochy kužeľa je o niečo komplikovanejšia. Všimnite si, že kruhový sektor je postavený na polomere g tvoriacej priamky a je ohraničený oblúkom, ktorého dĺžka sa rovná obvodu kruhu. Táto skutočnosť vám umožňuje zapísať pomer a nájsť uhol uvažovaného sektora. Označme to gréckym písmenom φ. Tento uhol sa bude rovnať:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Keď poznáte stredový uhol φ kruhového sektora, môžete použiť vhodný pomer na nájdenie jeho plochy. Označme ho symbolom S_b. Bude sa rovnať:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

To znamená, že plocha kužeľovej plochy zodpovedá súčinu tvoriacej priamky g, polomeru základne r a čísla Pi.

Vedieť, aké sú oblasti obochuvažované povrchy, môžeme napísať konečný vzorec pre oblasť kužeľa:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Písaný výraz predpokladá znalosť dvoch lineárnych parametrov kužeľa na výpočet S. Ak g alebo r nie je známe, možno ich nájsť pomocou výšky h.

Problém výpočtu plochy kužeľa

Je známe, že výška okrúhleho rovného kužeľa sa rovná jeho priemeru. Je potrebné vypočítať plochu obrázku s vedomím, že plocha jeho základne je 50 cm².

Po znalosti oblasti kruhu môžete nájsť polomer obrázku. Máme:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Teraz nájdime generátor g z hľadiska h a r. Podľa podmienky sa výška h obrázku rovná dvom polomerom r, potom:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Nájdené vzorce pre g a r by sa mali nahradiť výrazom pre celú plochu kužeľa. Získame:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Do výsledného výrazu dosadíme obsah základne S_o a zapíšeme odpoveď: S ≈ 161,8 cm².