Postavám revolúcie v geometrii sa venuje osobitná pozornosť pri štúdiu ich charakteristík a vlastností. Jedným z nich je zrezaný kužeľ. Cieľom tohto článku je odpovedať na otázku, aký vzorec možno použiť na výpočet plochy zrezaného kužeľa.
O ktorej postave hovoríme?
Pred popisom plochy zrezaného kužeľa je potrebné uviesť presnú geometrickú definíciu tohto obrazca. Skrátený je taký kužeľ, ktorý sa získa v dôsledku odrezania vrcholu obyčajného kužeľa rovinou. V tejto definícii by sa malo zdôrazniť množstvo nuancií. Po prvé, rovina rezu musí byť rovnobežná s rovinou základne kužeľa. Po druhé, pôvodný obrázok musí byť kruhový kužeľ. Samozrejme, môže to byť eliptický, hyperbolický a iný typ postavy, ale v tomto článku sa obmedzíme len na kruhový kužeľ. Ten je znázornený na obrázku nižšie.
Je ľahké uhádnuť, že ho možno získať nielen pomocou rezu rovinou, ale aj pomocou rotačnej operácie. PreAby ste to dosiahli, musíte si vziať lichobežník, ktorý má dva pravé uhly, a otočiť ho okolo strany, ktorá susedí s týmito pravými uhlami. V dôsledku toho sa základne lichobežníka stanú polomermi základov zrezaného kužeľa a bočná naklonená strana lichobežníka bude opisovať kužeľovú plochu.
Vývoj tvaru
Vzhľadom na povrchovú plochu zrezaného kužeľa je užitočné priniesť jeho vývoj, teda obraz povrchu trojrozmernej postavy v rovine. Nižšie je sken študovaného obrázku s ľubovoľnými parametrami.
Je vidieť, že oblasť figúry tvoria tri zložky: dva kruhy a jeden zrezaný kruhový segment. Je zrejmé, že na určenie požadovanej plochy je potrebné sčítať plochy všetkých menovaných obrazcov. Vyriešme tento problém v nasledujúcom odseku.
Oblasť zrezaného kužeľa
Na uľahčenie pochopenia nasledujúcej úvahy uvádzame nasledujúci zápis:
- r1, r2 - polomery veľkej a malej základne;
- h - výška postavy;
- g - tvoriaca čiara kužeľa (dĺžka šikmej strany lichobežníka).
Plocha základne zrezaného kužeľa sa dá ľahko vypočítať. Napíšme zodpovedajúce výrazy:
So1=pir12;
So2=pir22.
Oblasť časti kruhového segmentu je o niečo ťažšie určiť. Ak si predstavíme, že stred tohto kruhového sektora nie je vyrezaný, potom sa jeho polomer bude rovnať hodnote G. Nie je ťažké ho vypočítať, ak vezmeme do úvahy zodpovedajúcepodobné pravouhlé kužeľové trojuholníky. Rovná sa:
G=r1g/(r1-r2).
Potom bude plocha celého kruhového sektora, ktorý je postavený na polomere G a ktorý sa opiera o oblúk dĺžky 2pir1, rovnaká komu:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Teraz určme oblasť malého kruhového sektora S2, ktorú bude potrebné odpočítať od S1. Rovná sa:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Oblasť kužeľovej zrezanej plochy Sb sa rovná rozdielu medzi S1 a S 2. Získame:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Napriek niektorým ťažkopádnym výpočtom sme dostali pomerne jednoduchý výraz pre oblasť bočného povrchu obrázku.
Pridaním plôch základní a Sb sa dostaneme k vzorcu pre obsah zrezaného kužeľa:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Pre výpočet hodnoty S študovaného útvaru teda potrebujete poznať jeho tri lineárne parametre.
Príklad problému
Kruhový rovný kužeľs polomerom 10 cm a výškou 15 cm bol odrezaný rovinou tak, aby sa získal pravidelný zrezaný kužeľ. Keď vieme, že vzdialenosť medzi základňami orezaného útvaru je 10 cm, je potrebné nájsť jeho povrch.
Ak chcete použiť vzorec pre oblasť zrezaného kužeľa, musíte nájsť tri jeho parametre. Jeden, ktorého poznáme:
r1=10 cm.
Ďalšie dva sa dajú ľahko vypočítať, ak vezmeme do úvahy podobné pravouhlé trojuholníky, ktoré získame ako výsledok osového rezu kužeľa. Ak vezmeme do úvahy stav problému, dostaneme:
r2=105/15=3,33 cm.
Napokon, vodidlo zrezaného kužeľa g bude:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Teraz môžete nahradiť hodnoty r1, r2 a g do vzorca pre S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Požadovaná plocha figúrky je približne 852 cm2.
