Paralelizmus rovín je koncept, ktorý sa prvýkrát objavil v euklidovskej geometrii pred viac ako dvetisíc rokmi.
Hlavné charakteristiky klasickej geometrie
Zrod tejto vednej disciplíny je spojený so slávnym dielom starogréckeho mysliteľa Euklida, ktorý napísal brožúru „Začiatky“v treťom storočí pred Kristom. Elementy, rozdelené do trinástich kníh, boli najvyšším úspechom celej starovekej matematiky a stanovili základné postuláty spojené s vlastnosťami rovinných útvarov.
Klasická podmienka pre rovnobežnosť rovín bola formulovaná takto: dve roviny možno nazvať rovnobežnými, ak nemajú navzájom spoločné body. Toto bol piaty postulát euklidovskej práce.
Vlastnosti rovnobežných rovín
V euklidovskej geometrii je ich zvyčajne päť:
Prvá vlastnosť (popisuje rovnobežnosť rovín a ich jedinečnosť). Cez jeden bod, ktorý leží mimo konkrétnej danej roviny, môžeme nakresliť jednu a len jednu rovinu rovnobežnú s ním
- Druhá vlastnosť (nazývaná aj vlastnosť troch rovnobežiek). Keď sú dve lietadlárovnobežné s tretím, sú tiež navzájom rovnobežné.
Tretia vlastnosť (inými slovami, nazýva sa to vlastnosť priamky pretínajúcej rovnobežnosť rovín). Ak jedna priamka pretína jednu z týchto rovnobežných rovín, pretína druhú
Štvrtá vlastnosť (vlastnosť rovných čiar vyrezaných v rovinách navzájom rovnobežných). Keď sa dve rovnobežné roviny pretínajú s treťou (v akomkoľvek uhle), ich priesečníky sú tiež rovnobežné
Piata vlastnosť (vlastnosť, ktorá popisuje segmenty rôznych rovnobežných čiar, ktoré sú uzavreté medzi navzájom rovnobežnými rovinami). Segmenty týchto rovnobežných čiar, ktoré sú uzavreté medzi dvoma rovnobežnými rovinami, sú nevyhnutne rovnaké
Paralelizmus rovín v neeuklidovských geometriách
Takýmito prístupmi je najmä geometria Lobačevského a Riemanna. Ak sa Euklidova geometria realizovala na plochých priestoroch, tak Lobačevského geometria sa realizovala v negatívne zakrivených priestoroch (jednoducho zakrivených) a u Riemanna nachádza svoju realizáciu v pozitívne zakrivených priestoroch (inými slovami, gule). Existuje veľmi bežný stereotypný názor, že Lobačevského rovnobežné roviny (a tiež čiary) sa pretínajú.
To však nie je správne. Zrodenie hyperbolickej geometrie bolo skutočne spojené s dôkazom Euklidovho piateho postulátu a so zmenounázory na to však už zo samotnej definície rovnobežných rovín a línií vyplýva, že sa nemôžu pretínať ani u Lobačevského, ani u Riemanna, bez ohľadu na to, v akých priestoroch sú realizované. A zmena názorov a formulácií bola nasledovná. Postulát, že bodom, ktorý neleží v danej rovine, môže byť nakreslená len jedna rovnobežná rovina, bol nahradený inou formuláciou: cez bod, ktorý neleží v danej rovine, aspoň dve priamky, ktoré ležia v rovnaká rovina ako daná a nepretína ju.
