Pytagoras tvrdil, že číslo je základom sveta spolu so základnými prvkami. Platón veril, že číslo spája jav a noumenon, pomáha spoznávať, merať a vyvodzovať závery. Aritmetika pochádza zo slova "aritmos" - číslo, začiatok začiatkov v matematike. Dokáže opísať akýkoľvek objekt – od elementárneho jablka až po abstraktné priestory.
Potreby ako faktor rozvoja
V raných fázach formovania spoločnosti sa potreby ľudí obmedzovali na potrebu počítať – jedno vrece obilia, dve vrecia obilia atď. Stačili na to prirodzené čísla, ktorých množina je nekonečná kladná postupnosť celých čísel N.
Neskôr, s rozvojom matematiky ako vedy, vznikla potreba samostatného poľa celých čísel Z - zahŕňa záporné hodnoty a nulu. Jeho vzhľad na úrovni domácností bol vyvolaný skutočnosťou, že v primárnom účtovníctve bolo potrebné nejako opraviťdlhy a straty. Na vedeckej úrovni záporné čísla umožnili vyriešiť najjednoduchšie lineárne rovnice. Okrem iného je teraz možný obraz triviálneho súradnicového systému, pretože sa objavil referenčný bod.
Ďalším krokom bola potreba zaviesť zlomkové čísla, keďže veda nestála na mieste, stále viac objavov si vyžadovalo teoretický základ pre nový rastový impulz. Takto sa objavilo pole racionálnych čísel Q.
Nakoniec racionalita prestala uspokojovať požiadavky, pretože všetky nové závery si vyžadovali odôvodnenie. Objavilo sa pole reálnych čísel R, Euklidove práce o nesúmerateľnosti určitých veličín v dôsledku ich iracionality. To znamená, že starí grécki matematici umiestnili číslo nielen ako konštantu, ale aj ako abstraktnú veličinu, ktorá sa vyznačuje pomerom nesúmerateľných veličín. Vďaka tomu, že sa objavili reálne čísla, také veličiny ako „pí“a „e“„uvideli svetlo“, bez ktorých by moderná matematika nemohla prebiehať.
Poslednou novinkou bolo komplexné číslo C. Odpovedalo na množstvo otázok a vyvrátilo predtým zavedené postuláty. Kvôli rýchlemu rozvoju algebry bol výsledok predvídateľný – mať reálne čísla, nebolo možné vyriešiť veľa problémov. Napríklad vďaka komplexným číslam vynikla teória strún a chaosu a rozšírili sa rovnice hydrodynamiky.
Teória množín. Cantor
Koncept nekonečna za každých okolnostívyvolalo kontroverziu, pretože sa nedalo dokázať ani vyvrátiť. V kontexte matematiky, ktorá operovala s prísne overenými postulátmi, sa to prejavilo najzreteľnejšie, najmä preto, že teologický aspekt mal vo vede stále váhu.
Vďaka práci matematika Georga Kantora však časom všetko do seba zapadlo. Dokázal, že existuje nekonečný počet nekonečných množín a že pole R je väčšie ako pole N, aj keď obe nemajú koniec. V polovici 19. storočia sa jeho myšlienky hlasno nazývali nezmyslom a zločinom proti klasickým, neotrasiteľným kánonom, no čas dal všetko na svoje miesto.
Základné vlastnosti poľa R
Skutočné čísla majú nielen rovnaké vlastnosti ako podmnožiny, ktoré sú v nich zahrnuté, ale sú doplnené aj o ďalšie vzhľadom na rozsah ich prvkov:
- Nula existuje a patrí do poľa R. c + 0=c pre ľubovoľné c z R.
- Nula existuje a patrí do poľa R. c x 0=0 pre ľubovoľné c z R.
- Vzťah c: d pre d ≠ 0 existuje a platí pre každé c, d z R.
- Pole R je usporiadané, to znamená, ak c ≦ d, d ≦ c, potom c=d pre ľubovoľné c, d z R.
- Sčítanie v poli R je komutatívne, t.j. c + d=d + c pre ľubovoľné c, d z R.
- Násobenie v poli R je komutatívne, t.j. c x d=d x c pre ľubovoľné c, d z R.
- Sčítanie v poli R je asociatívne, t.j. (c + d) + f=c + (d + f) pre ľubovoľné c, d, f z R.
- Násobenie v poli R je asociatívne, t.j. (c x d) x f=c x (d x f) pre ľubovoľné c, d, f z R.
- Pre každé číslo v poli R existuje opak, napríklad c + (-c)=0, kde c, -c je z R.
- Pre každé číslo z poľa R existuje jeho inverzná hodnota, a to tak, že c x c-1 =1, kde c, c-1 od R.
- Jednotka existuje a patrí do R, takže c x 1=c pre ľubovoľné c z R.
- Zákon o rozdeľovaní je platný, takže c x (d + f)=c x d + c x f pre ľubovoľné c, d, f z R.
- V poli R sa nula nerovná jednej.
- Pole R je tranzitívne: ak c ≦ d, d ≦ f, potom c ≦ f pre ľubovoľné c, d, f z R.
- V poli R poradie a sčítanie súvisia: ak c ≦ d, potom c + f ≦ d + f pre ľubovoľné c, d, f z R.
- V poli R poradie a násobenie súvisia: ak 0 ≦ c, 0 ≦ d, potom 0 ≦ c x d pre ľubovoľné c, d z R.
- Záporné aj kladné reálne čísla sú spojité, to znamená, že pre každé c, d od R existuje f od R také, že c ≦ f ≦ d.
Modul v poli R
Skutočné čísla zahŕňajú modul.
Označené ako |f| pre ľubovoľné f z R. |f|=f ak 0 ≦ f a |f|=-f ak 0 > f. Ak modul považujeme za geometrickú veličinu, potom je to prejdená vzdialenosť – nezáleží na tom, či ste „prešli“nulou do mínusu alebo dopredu do plusu.
Komplexné a reálne čísla. Aké sú podobnosti a aké sú rozdiely?
Vo všeobecnosti sú komplexné a reálne čísla jedno a to isté, až na toimaginárna jednotka i, ktorej druhá mocnina je -1. Prvky polí R a C môžu byť vyjadrené nasledujúcim vzorcom:
c=d + f x i, kde d, f patria do poľa R a i je imaginárna jednotka
Na získanie c z R v tomto prípade sa f jednoducho nastaví na nulu, to znamená, že zostane iba skutočná časť čísla. Vzhľadom na to, že pole komplexných čísel má rovnakú množinu vlastností ako pole reálnych čísel, f x i=0, ak f=0.
Pokiaľ ide o praktické rozdiely, napríklad v poli R, kvadratická rovnica nie je vyriešená, ak je diskriminant záporný, zatiaľ čo pole C takéto obmedzenie neukladá kvôli zavedeniu imaginárnej jednotky i.
Results
„Kocky“axióm a postulátov, na ktorých je založená matematika, sa nemenia. Z dôvodu nárastu informovanosti a zavádzania nových teórií sa na niektoré z nich umiestňujú nasledovné „tehly“, ktoré sa v budúcnosti môžu stať základom pre ďalší postup. Napríklad prirodzené čísla, napriek tomu, že sú podmnožinou reálneho poľa R, nestrácajú na význame. Práve na nich je založená všetka elementárna aritmetika, ktorou sa začína ľudské poznanie sveta.
Z praktického hľadiska vyzerajú reálne čísla ako priamka. Na ňom si môžete vybrať smer, určiť pôvod a krok. Priamka pozostáva z nekonečného počtu bodov, z ktorých každý zodpovedá jedinému reálnemu číslu, bez ohľadu na to, či je racionálne alebo nie. Z popisu je zrejmé, že hovoríme o koncepte, na ktorom je postavená matematika vo všeobecnosti aj matematická analýza vo všeobecnosti.konkrétne.
