Teleso hodené pod uhlom k horizontu: typy trajektórií, vzorce

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Každý z nás hádzal kamene do neba a sledoval trajektóriu ich pádu. Ide o najbežnejší príklad pohybu tuhého telesa v poli gravitačných síl našej planéty. V tomto článku zvážime vzorce, ktoré môžu byť užitočné pri riešení problémov s voľným pohybom tela hodeného k horizontu pod uhlom.

Koncept pohybu smerom k horizontu pod uhlom

Keď nejakému pevnému objektu udelíte počiatočnú rýchlosť, začne naberať výšku a potom opäť padá na zem, všeobecne sa uznáva, že teleso sa pohybuje po parabolickej trajektórii. V skutočnosti riešenie rovníc pre tento typ pohybu ukazuje, že čiara opísaná telesom vo vzduchu je súčasťou elipsy. Pre praktické použitie sa však parabolická aproximácia ukazuje ako celkom vhodná a vedie k presným výsledkom.

Príklady pohybu tela hodeného pod uhlom k horizontu sú vystreľovanie projektilu z ústia dela, kopanie do lopty a dokonca aj skákanie kamienkov na hladinu vody („ropuchy“), ktoré sú držanémedzinárodné súťaže.

Typ pohybu pod uhlom skúma balistika.

Vlastnosti uvažovaného typu pohybu

Pri zvažovaní trajektórie telesa v poli zemských gravitačných síl platia nasledujúce tvrdenia:

• poznať počiatočnú výšku, rýchlosť a uhol k horizontu vám umožní vypočítať celú trajektóriu;
• uhol odletu sa rovná uhlu dopadu tela za predpokladu, že počiatočná výška je nula;
• vertikálny pohyb možno považovať nezávisle od horizontálneho pohybu;

Upozorňujeme, že tieto vlastnosti sú platné, ak je trecia sila počas letu telesa zanedbateľná. V balistike sa pri štúdiu letu projektilov berie do úvahy veľa rôznych faktorov vrátane trenia.

Typy parabolického pohybu

V závislosti od výšky, z ktorej pohyb začína, v akej výške končí a ako je nasmerovaná počiatočná rýchlosť, sa rozlišujú tieto typy parabolického pohybu:

• Úplná parabola. V tomto prípade je telo vyhodené z povrchu Zeme a padá na tento povrch, čo opisuje úplnú parabolu.
• Polovica paraboly. Takýto graf pohybu telesa sa pozoruje, ak je odhodené z určitej výšky h, pričom rýchlosť v smeruje rovnobežne s horizontom, teda pod uhlom θ=0^o.
• Časť paraboly. Takéto trajektórie vznikajú, keď je teleso vrhnuté pod určitým uhlom θ≠0^o a rozdielvýška začiatku a konca je tiež nenulová (h-h₀≠0). Väčšina trajektórií pohybu objektov je tohto typu. Napríklad strela z dela stojaceho na kopci alebo basketbalista, ktorý hádže loptu do koša.

Graf pohybu telesa zodpovedajúci plnej parabole je zobrazený vyššie.

Požadované vzorce na výpočet

Uveďme vzorce na opísanie pohybu telesa hodeného pod uhlom k horizontu. Zanedbaním sily trenia a pri zohľadnení iba gravitačnej sily môžeme napísať dve rovnice pre rýchlosť objektu:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Keďže gravitácia smeruje vertikálne nadol, nemení horizontálnu zložku rýchlosti v_x, takže v prvej rovnosti neexistuje žiadna časová závislosť. Zložka v_y je zas ovplyvnená gravitáciou, ktorá dáva g zrýchlenie tela smerujúce k zemi (preto znamienko mínus vo vzorci).

Teraz si napíšme vzorce na zmenu súradníc telesa hodeného pod uhlom k horizontu:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Počiatočná súradnica x₀často považovaná za nulu. Súradnica y₀ nie je nič iné ako výška h, z ktorej je teleso odhodené (y₀=h).

Teraz vyjadrime čas t z prvého výrazu a dosaďte ho do druhého, dostaneme:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Tento výraz v geometrii zodpovedá parabole, ktorej vetvy smerujú nadol.

Vyššie uvedené rovnice sú dostatočné na určenie akýchkoľvek charakteristík tohto typu pohybu. Ich riešenie teda vedie k tomu, že maximálny letový dosah sa dosiahne, ak θ=45^o, pričom maximálna výška, do ktorej sa vrhnuté teleso zdvihne, je dosiahnutá, keď θ=90o.