Vznik konceptu integrálu bol spôsobený potrebou nájsť primitívnu funkciu pomocou jej derivácie, ako aj určiť množstvo práce, oblasť zložitých útvarov, prejdenú vzdialenosť, s parametre načrtnuté krivkami popísanými nelineárnymi vzorcami.
Z kurzu
a fyzika vie, že práca sa rovná súčinu sily a vzdialenosti. Ak sa všetok pohyb uskutoční konštantnou rýchlosťou alebo sa vzdialenosť prekoná pôsobením rovnakej sily, potom je všetko jasné, stačí ich vynásobiť. Čo je integrál konštanty? Toto je lineárna funkcia v tvare y=kx+c.
Sila počas práce sa však môže meniť a v určitej prirodzenej závislosti. Rovnaká situácia nastáva pri výpočte prejdenej vzdialenosti, ak rýchlosť nie je konštantná.
Takže je jasné, na čo slúži integrál. Jeho definícia ako súčet súčinov funkčných hodnôt nekonečne malým prírastkom argumentu plne popisuje hlavný význam tohto pojmu ako oblasť obrazca ohraničeného zhora čiarou funkcie a pri okraje za hranice definície.
Jean Gaston Darboux, francúzsky matematik, v druhej polovici XIX.storočia veľmi jasne vysvetlil, čo je integrál. Povedal to tak jasne, že vo všeobecnosti by ani pre stredoškolákov nebolo ťažké porozumieť tejto problematike.
Povedzme, že existuje funkcia akejkoľvek komplexnej formy. Os y, na ktorej sú vynesené hodnoty argumentu, je rozdelená na malé intervaly, ideálne sú nekonečne malé, ale keďže pojem nekonečna je skôr abstraktný, stačí si predstaviť len malé segmenty, hodnotu z ktorých sa zvyčajne označuje gréckym písmenom Δ (delta).
Ukázalo sa, že funkcia je „rozrezaná“na malé kocky.
Každá hodnota argumentu zodpovedá bodu na osi y, na ktorom sú vynesené zodpovedajúce hodnoty funkcií. Ale keďže vybraná oblasť má dve hranice, budú existovať aj dve hodnoty funkcie, viac a menej.
Súčet súčinov väčších hodnôt prírastkom Δ sa nazýva veľká Darbouxova suma a označuje sa ako S. Podľa toho menšie hodnoty v obmedzenej oblasti, vynásobené Δ, všetky spolu tvoria malý Darboux sum s. Samotný rez pripomína pravouhlý lichobežník, pretože zakrivenie čiary funkcie s jej nekonečne malým prírastkom môže byť zanedbané. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť oblasť takéhoto geometrického útvaru, je sčítať súčin väčšej a menšej hodnoty funkcie pomocou Δ-prírastku a vydeliť dvoma, to znamená určiť to ako aritmetický priemer.
Toto je Darbouxov integrál:
s=Σf(x) Δ je malé množstvo;
S=Σf(x+Δ)Δ je veľká suma.
Čo je teda integrál? Oblasť ohraničená funkčnou čiarou a hranicami definície bude:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
To znamená, že aritmetický priemer veľkých a malých súm Darboux.c je konštantná hodnota, ktorá je počas diferenciácie nastavená na nulu.
Na základe geometrického vyjadrenia tohto pojmu je fyzikálny význam integrálu jasný. Plocha obrázku vyznačená funkciou rýchlosti a obmedzená časovým intervalom pozdĺž osi x bude dĺžka prejdenej cesty.
L=∫f(x)dx na intervale od t1 do t2, Kde
f(x) – funkcia rýchlosti, teda vzorec, podľa ktorého sa mení v čase;
L – dĺžka cesty;
t1 – čas začiatku;
t2 – čas ukončenia cesty.
Presne podľa toho istého princípu sa určuje množstvo práce, iba vzdialenosť bude vynesená pozdĺž úsečky a množstvo sily aplikovanej v každom konkrétnom bode bude vynesené pozdĺž ordináty.
